Абсолютная ошибка формула геодезия

3.1 Геодезическое измерение, результат измерения, методы и условия измерений. Равноточные и неравноточные измерения

Измерением называется
процесс сравнения некоторой физической
величины с другой одноименной величиной,
принятой за единицу меры.

Единица
меры – значение
физической величины, принятой для
количественной оценки величины того
же рода.

Результат измерений
– это число, равное отношению измеряемой
величины единицы меры.

Различают следующие
виды геодезических измерений:

1.  Линейные, в
результате, которых получают наклонные
иррациональные расстояния между
заданными точками. Для этой цели применяют
ленты, рулетки, проволоки, оптические
свето- и радиодальномеры.

2.  Угловые,
определяющие величины горизонтальных
углов. Для выполнения таких измерений
применяют теодолит, буссоли, эклиметры.

3.  Высотные, в
результате, которых получают разности
высот отдельных точек. Для этой цели
применяют нивелиры, теодолиты-тахеометры,
барометры.

Различают два метода
геодезических измерений: непосредственные
и посредственные (косвенные).

Непосредственные – измерения,
при которых определяемые величины
получают в результате непосредственного
сравнения с единицей измерения.

Косвенные – измерения,
при которых определяемые величины
получаются как функции других
непосредственно измеренных величин.

Процесс измерения
включает:

·  Объект – свойства
которого, например, размер характеризуют
результат измерения.

·  Техническое
средство – получать результат в заданных
единицах.

·  Метод измерений
– обусловлен теорией практических
действий и приёмов технических средств.

·  Исполнитель
измерений – регистрирующее устройство

·  Внешняя среда,
в которой происходит процесс измерений.

Измерения
различают равноточные и неравноточные.
Равноточные – это результаты измерений
однородных величин, выполняемые с
помощью приборов одного класса, одним
и тем же методом, одним исполнителем
при одних и тех же условиях. Если хотя
бы один из элементов, составляющий
совокупность, меняется, то результат
измерений неравноточный.

3.2 Классификация погрешностей геодезических измерений. Средняя квадратическая погрешность. Формы Гаусса и Бесселя для её вычисления

Геодезические
измерения, выполняемые даже в очень
хороших условиях, сопровождаются
погрешностями, т.е. отклонение результата
измерений L от истинного значения Х
нумеруемой величины:

∆ = L-X

Истинное –
такое значение измеряемой величины,
которое идеальным образом отражало бы
количественные свойства объекта.
Недостижимое условие – истинное значение
– понятие гипотетическое. Это величина,
к которой можно приближаться бесконечно
близко, оно не достижимо.

Точность
измерений – степень приближения его
результата к истинному значению. Чем
ниже погрешность, тем выше точность.

Абсолютная
погрешность выражается
разностью значения, полученного в
результате измерения и истинного
измерения величины. Например, истинное
значение l = 100 м, однако, при измерении
этой же линии получен результат 100,05 м,
тогда абсолютная погрешность:

E = X_изм – X

E = 100,05 – 100 = 0,05 (м)

Чтобы
получить значение достаточно произвести
одно измерение. Его называют необходимым,
но чаще одним измерением не ограничиваются,
а повторяют не менее двух раз. Измерения,
которые делают сверх необходимого,
называют избыточными (добавочными),
они являются весьма важным средством
контроля результата измерения.

Абсолютная погрешность
не даёт представления о точности
полученного результата. Например,
погрешность в 0,06 м может быть получена
при измерении l = 100 м или l = 1000 м. Поэтому
вычисляют относительную погрешность:

C = E_ср / X

C = 0,06 / 100 = 1/1667, т.е на
1667 м измеряемой l допущена погрешность
в 1 метр.

Относительная
погрешность –
отношение абсолютной погрешности к
истинному или измеренному значению.
Выражают дробью. По инструкции линия
местности должна быть измерена не грубее
1/1000.

Погрешности,
происходящие от отдельных факторов,
называются элементарными. Погрешность
обобщенная –
это сумма элементарных.

Возникают:

·  грубые (Q),

·  систематические
(O),

·  случайные (∆).

Грубые погрешности
измерений возникают в результате грубых
промахов, просчётов исполнителя, его
невнимательности, незамеченных
неисправностях технических средств.
Грубые погрешности совершенно недопустимы
и должны быть полностью исключены из
результатов измерений путем проведения
повторных, дополнительных измерений.

Систематические погрешности
измерений – постоянная составляющая,
связанная с дефектами: зрение, неисправность
технических средств, температура.
Систематические погрешности могут быть
как одностороннего действия, так и
переменного (периодические погрешности).
Их стремятся по возможности учесть или
исключить из результатов измерений при
организации и проведении работ.

Случайные погрешности
измерений неизбежно сопутствуют всем
измерениям. Погрешности случайные
исключить нельзя, но можно ослабить их
влияние на искомый результат за счет
проведения дополнительных измерений.
Это самые коварные погрешности,
сопутствующие всем измерениям. Могут
быть разные как по величине, так и по
знаку.

E = Q + O +∆

Если грубые и
систематические погрешности могут быть
изучены и исключены из результата
измерений, то случайные могут быть
учтены на основе глубокого измерения.
Изучение на основе теории вероятностей.

На практике
сложность заключается в том, что измерения
проводятся какое-то ограниченное
количество раз и поэтому для оценки
точности измерений используют приближённую
оценку среднего квадратического
отклонения, которую называют среднеквадратической
погрешностью (СКП).

Гауссом была предложена
формула среднеквадратической погрешности:

∆²_ср =
(∆²₁ +
∆²₂ +…
+∆²_n)
/ n,

∆² =
m² =
(∆²₁ +
∆²₂ +…
+∆²_n)
/ n,

∆ = m,

∆_ср = m =
√(∑∆²_i / n)

Формула применяется,
когда погрешности вычислены по истинным
значениям.

Формула Бесселя:

m =
√(∑V²_i /
(n-1))

Средняя квадратическая
погрешность арифметической середины
в Ön раз меньше средней квадратической
погрешности отдельного измерения

М=m/Ön

При оценке в качестве
единицы меры точности используют
среднеквадратическую погрешность с
весом равным единице. Её называют средней
квадратической погрешностью единицы
веса.

µ² = P×m² –
µ = m√P, m = µ / √P, т.е. средняя квадратическая
погрешность любого результата измерения
равна погрешности измерения с весом 1
(µ) и делённая на корень квадратный из
веса этого результата (P).

При
достаточно большом числе измерений
можно записать ∑m²P=∑∆²P
(так как ∆ = m):

µ =
√(∑(∆²×P)/n),
т.е. средняя квадратическая погрешность
измерения с весом, равным 1 равна корню
квадратному из дроби в числителе которого
сумма произведений квадратов абсолютных
погрешностей неравноточных измерений
на их веса, а в знаменателе – число
неравноточных измерений.

Средняя квадратическая
погрешность общей арифметической
середины по формуле:

M₀ =
µ / √∑P

Подставив вместо µ
её значение получим :

M₀ =
√(∑∆²×P/n)
/ (√∑P) = √[(∑∆²×P)
/ n×(∑P)]

M₀ =
√[ (∆₁²P₁ +
∆₂²P₂ +…
+ ∆_n²P_n)
/ n×(P₁ + P₂ +
… + P_n)
] – формула Гаусса,
средняя квадратическая погрешность
общей арифметической середины равна
корню квадратному из дроби, в числителе
которой сумма произведений квадратов
погрешностей неравноточных измерений
на их веса, а знаменатель – произведение
количества измерений на сумму их весов.

µ = √
[∑( V²×P )
/ (n-1)] Это формула
Бесселя для
вычисления средней арифметической
погрешности с измерением веса, равным
1 для ряда неравноточных измерений по
их вероятнейшим погрешностям. Она
справедлива для большого ряда измерений,
а для ограниченного (часто на практике)
содержит погрешности: m_µ =
µ / [2×(n-1)] – это надёжность оценки µ.

Контрольная задача
1

Для исследования
теодолита им был многократно измерен
один и тот же угол. Результаты оказались
следующими: 39˚17.4′; 39˚16.8′; 39˚16.6′; 39˚16.2′;
39˚15.5′; 39˚15.8′; 39˚16.3′; 39˚16.2′. Тот же угол был
измерен высокоточным угломерным
прибором, что дало результат 39˚16’42».
Приняв это значение за точное, вычислить
среднюю квадратическую погрешность,
определить надёжность СКП, найти
предельную погрешность.

Решение:

№ измерения	Результаты измерений, l	Погрешности ∆ = l-X	∆2
1	39˚17.4′	+0.7′	0.49
2	16.8	+0.1	0.01
3	16.6	-0.1	0.01
4	16.2	-0.5	0.25
5	15.5	-1.2	1.44
6	15.8	-0.9	0.81
7	16.3	-0.4	0.16
8	16.2	-0.5	0.25
Сумма			3.42

39˚16’42» = 39˚16.7′

Средняя
квадратическая погрешность: m =
√([∆²]/n),

m = √(3.42/8) = 0.65′.

Оценка
надёжности СКП: m_m = m /
√2n,

m_m =
0.65 / √16=0.1625≈0.16′.

Предельная
погрешность: ∆_пр =
3×m,

∆_пр =
3×0.65′ = 1.96′

Контрольная задача
2

Дана совокупность
невязок треугольников триангуляции
объёмом 50 единиц. Считая невязки истинными
погрешностями, вычислить среднюю
квадратическую погрешность и произвести
надёжность СКП, вычислить предельную
погрешность. На данной совокупности
проверить свойство случайных погрешностей:

Lim[∆] / n =0, для чего
вычислить W = [W] / n.

N	W	N	W	N	W	N	W	N	W
1	+1,02	11	-1,72	21	-0,90	31	+2,80	41	-0,44
2	+0,41	12	+1,29	22	+1,22	32	-0,81	42	-0,28
3	+0,02	13	-1,81	23	-1,84	33	+1,04	43	-0,75
4	-1,88	14	-0,08	24	-0,44	34	+0,42	44	-0,80
5	-1,44	15	-0,50	25	+0,18	35	+0,68	45	-0,95
6	-0,25	16	-1,89	26	-0,08	36	+0,55	46	-0,58
7	+0,12	17	+0,72	27	-1,11	37	+0,22	47	+1,60
8	+0,22	18	+0,24	28	+2,51	38	+1,67	48	+1,85
9	-1,05	19	-0,13	29	-1,16	39	+0,11	49	+2,22
10	+0,56	20	+0,59	30	+1,65	40	+2,08	50	-2,59

Решение:

W =
[W] / n,
W = +2,51 / 50 = 0,05

Среднюю
квадратическую погрешность в данном
случае целесообразно вычислять по
формуле: m =
√( [W²]
– [W]²/n)
÷ (n-1),

m = √(
76,5703 – (2,51²)/50)
÷ 49 = 1,249

Оценку
надёжности СКП по формуле: m_m = m /
√2(n-1),

m_m =
1,249/ √(2×49) = 0,13.

Предельная
погрешность по формуле: ∆_пр =
3×m,

∆_пр =
3×1,249= 3,747.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Постоянно действующие пункты ФАГС в основном создаются на базе действующих пунктов спутниковых (космических) наблюдений, астрономических обсерваторий, пунктов службы вращения Земли, радиоинтерферометрических комплексов со сверхдальними базами «Квазар», программы «Дельта» и др. На пунктах ФАГС предусматривают две программы наблюдений: постоянные наблюдения спутниковых систем ГЛОНАСС и GPS (включая и международные программы) и наблюдения других специализированных спутников и космических объектов согласно межведомственным программам построения ФАГС.

Следует заметить, что спутниковые технологии не всегда можно использовать при решении традиционных геодезических задач, например, недостаточна относительная точность определений на коротких расстояниях, ограничено использование GPS-методов в точной инженерной геодезии, процесс привязки ориентирных пунктов, легко решаемый в традиционной технологии, становится довольно сложным и дорогим, особенно в закрытой местности, в спутниковой технологии, так как объем спутниковых определений в этом случае возрастает более чем в два раза.

3. Погрешности геодезических измерений (теория и решение задач)

3.1 Геодезическое измерение, результат измерения, методы и условия измерений. Равноточные и неравноточные измерения

Измерением называется процесс сравнения некоторой физической величины с другой одноименной величиной, принятой за единицу меры.

Единица меры – значение физической величины, принятой для количественной оценки величины того же рода.

Результат измерений – это число, равное отношению измеряемой величины единицы меры.

Различают следующие виды геодезических измерений:

1. Линейные, в результате, которых получают наклонные иррациональные расстояния между заданными точками. Для этой цели применяют ленты, рулетки, проволоки, оптические свето- и радиодальномеры.

2. Угловые, определяющие величины горизонтальных углов. Для выполнения таких измерений применяют теодолит, буссоли, эклиметры.

3. Высотные, в результате, которых получают разности высот отдельных точек. Для этой цели применяют нивелиры, теодолиты-тахеометры, барометры.

Различают два метода геодезических измерений: непосредственные и посредственные (косвенные).

Непосредственные – измерения, при которых определяемые величины получают в результате непосредственного сравнения с единицей измерения.

Косвенные – измерения, при которых определяемые величины получаются как функции других непосредственно измеренных величин.

Процесс измерения включает:

• Объект – свойства которого, например, размер характеризуют результат измерения.

• Техническое средство – получать результат в заданных единицах.

• Метод измерений – обусловлен теорией практических действий и приёмов технических средств.

• Исполнитель измерений – регистрирующее устройство

• Внешняя среда, в которой происходит процесс измерений.

Измерения различают равноточные и неравноточные. Равноточные – это результаты измерений однородных величин, выполняемые с помощью приборов одного класса, одним и тем же методом, одним исполнителем при одних и тех же условиях. Если хотя бы один из элементов, составляющий совокупность, меняется, то результат измерений неравноточный.

3.2 Классификация погрешностей геодезических измерений. Средняя квадратическая погрешность. Формы Гаусса и Бесселя для её вычисления

Геодезические измерения, выполняемые даже в очень хороших условиях, сопровождаются погрешностями, т.е. отклонение результата измерений L от истинного значения Х нумеруемой величины:

∆ = L-X

Истинное – такое значение измеряемой величины, которое идеальным образом отражало бы количественные свойства объекта. Недостижимое условие – истинное значение – понятие гипотетическое. Это величина, к которой можно приближаться бесконечно близко, оно не достижимо.

Точность измерений – степень приближения его результата к истинному значению. Чем ниже погрешность, тем выше точность.

Абсолютная погрешность выражается разностью значения, полученного в результате измерения и истинного измерения величины. Например, истинное значение l = 100 м, однако, при измерении этой же линии получен результат 100,05 м, тогда абсолютная погрешность:

E = X_изм – X

E = 100,05 – 100 = 0,05 (м)

Чтобы получить значение достаточно произвести одно измерение. Его называют необходимым, но чаще одним измерением не ограничиваются, а повторяют не менее двух раз. Измерения, которые делают сверх необходимого, называют избыточными (добавочными), они являются весьма важным средством контроля результата измерения.

Абсолютная погрешность не даёт представления о точности полученного результата. Например, погрешность в 0,06 м может быть получена при измерении l = 100 м или l = 1000 м. Поэтому вычисляют относительную погрешность:

C = E_ср / X

C = 0,06 / 100 = 1/1667, т.е на 1667 м измеряемой l допущена погрешность в 1 метр.

Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению. Выражают дробью. По инструкции линия местности должна быть измерена не грубее 1/1000.

Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Погрешность обобщенная – это сумма элементарных.

Возникают:

• грубые (Q),

• систематические (O),

• случайные (∆).

Грубые погрешности измерений возникают в результате грубых промахов, просчётов исполнителя, его невнимательности, незамеченных неисправностях технических средств. Грубые погрешности совершенно недопустимы и должны быть полностью исключены из результатов измерений путем проведения повторных, дополнительных измерений.

Систематические погрешности измерений – постоянная составляющая, связанная с дефектами: зрение, неисправность технических средств, температура. Систематические погрешности могут быть как одностороннего действия, так и переменного (периодические погрешности). Их стремятся по возможности учесть или исключить из результатов измерений при организации и проведении работ.

Случайные погрешности измерений неизбежно сопутствуют всем измерениям. Погрешности случайные исключить нельзя, но можно ослабить их влияние на искомый результат за счет проведения дополнительных измерений. Это самые коварные погрешности, сопутствующие всем измерениям. Могут быть разные как по величине, так и по знаку.

E = Q + O +∆

Если грубые и систематические погрешности могут быть изучены и исключены из результата измерений, то случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе теории вероятностей.

На практике сложность заключается в том, что измерения проводятся какое-то ограниченное количество раз и поэтому для оценки точности измерений используют приближённую оценку среднего квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической погрешностью (СКП).

Гауссом была предложена формула среднеквадратической погрешности:

∆²_ср = (∆²₁ + ∆²₂ +… +∆²_n) / n,

∆² = m² = (∆²₁ + ∆²₂ +… +∆²_n) / n,

∆ = m,

∆_ср = m = √(∑∆²_i / n)

Формула применяется, когда погрешности вычислены по истинным значениям.

Формула Бесселя:

m = √(∑V²_i / (n-1))

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины в n раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения

М=m/n

При оценке в качестве единицы меры точности используют среднеквадратическую погрешность с весом равным единице. Её называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

µ² = P×m² – µ = m√P, m = µ / √P, т.е. средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).

При достаточно большом числе измерений можно записать ∑m²P=∑∆²P (так как ∆ = m):

µ = √(∑(∆²×P)/n), т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе – число неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины по формуле:

M₀ = µ / √∑P

Подставив вместо µ её значение получим :

M₀ = √(∑∆²×P/n) / (√∑P) = √[(∑∆²×P) / n×(∑P)]

M₀ = √[ (∆₁²P₁ + ∆₂²P₂ +… + ∆_n²P_n) / n×(P₁ + P₂ + … + P_n) ] – формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель – произведение количества измерений на сумму их весов.

µ = √ [∑( V²×P ) / (n-1)] Это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: m_µ = µ / [2×(n-1)] – это надёжность оценки µ.

Контрольная задача 1

Для исследования теодолита им был многократно измерен один и тот же угол. Результаты оказались следующими: 39˚17.4′; 39˚16.8′; 39˚16.6′; 39˚16.2′; 39˚15.5′; 39˚15.8′; 39˚16.3′; 39˚16.2′. Тот же угол был измерен высокоточным угломерным прибором, что дало результат 39˚16’42». Приняв это значение за точное, вычислить среднюю квадратическую погрешность, определить надёжность СКП, найти предельную погрешность.

Решение:

39˚16’42» = 39˚16.7′

Средняя квадратическая погрешность: m = √([∆²]/n),

m = √(3.42/8) = 0.65′.

Оценка надёжности СКП: m_m = m / √2n,

m_m = 0.65 / √16=0.1625≈0.16′.

Предельная погрешность: ∆_пр = 3×m,

∆_пр = 3×0.65′ = 1.96′

Контрольная задача 2

Дана совокупность невязок треугольников триангуляции объёмом 50 единиц. Считая невязки истинными погрешностями, вычислить среднюю квадратическую погрешность и произвести надёжность СКП, вычислить предельную погрешность. На данной совокупности проверить свойство случайных погрешностей:

Lim[∆] / n =0, для чего вычислить W = [W] / n.

Решение:

Человеку свойственно ошибаться. Это касается не только общих вопросов и знаний жизни. Но и распространяется на любые сферы его деятельности, в том числе в области геодезии. В ней все проводимые измерения выполняются с ошибками. Значительная часть работ в геодезическом производстве основывается на измерениях. А измерения — своего рода сравнение с какой-то эталонной или истинной величиной. Если понимать, что истинного значения в идеале не существует, то все сравнения в измерениях сводятся к сравнению с конкретно полученным значением и принятому, как верное. Одним из наиболее приближенных к истинному значению, считается среднее арифметическое.

Понятие погрешности, её абсолютная и относительная величины

Если переходить на понятие погрешности, то отклонение отдельного замера от среднего арифметического из выполненных измерений и считается абсолютной его ошибкой. Числовая форма погрешности не дает представления о качестве произведенного измерения. Для этого существует понятие относительной погрешности. Под ним понимают отношение значения собственно ошибки к замеренной величине. Применяется этот параметр в определении точности работ при линейных замерах в полигонометрических и теодолитных ходах.

В нивелирных ходах для его оценки точности существует так называемая приведенная погрешность. Это тоже своего рода относительный показатель. Только он подразумевает под собой отношение абсолютного значения ошибки к конкретному принятому значению определяемой величины (для нивелировок на 1 км хода).

Погрешности по источникам возникновения

При производстве геодезических работ после окончания каждой выполненной операции в полевых условиях можно говорить об ошибках. Присутствуют они и при проведении камеральных работ. Так при установке приборов в рабочее положение возникают отклонения в центрировании инструмента над центром знака. Также возникают неточности при выставлении прибора в отвесное состояние, когда выводим его цилиндрический уровень в верхнее горизонтальное положение и круглый уровень на середину. Следующими причинами возникновения погрешностей считаются визирование и снятие отсчетов в момент исполнения наблюдений.  Влияние внешних условий окружающей среды: рефракция воздуха, дымка, туман, осадки, формирует еще одну группу ошибок. Помимо человеческого фактора и влияния внешней среды существуют конструктивные особенности приборов, с заложенными в них вероятностными составляющими точности измерений. Еще одной из причин возникновения погрешностей считается несовершенство методик их определений. Резюмируя выше сказанное, можно выделить следующий перечень ошибок по источникам их возникновения:

• инструментальные;
• индивидуальные;
• из-за условий окружающей среды;
• методические.

Погрешности по характеру действий

По данному признаку все ошибки можно разделить на следующие отклонения:

• грубые, то есть значительно превышающие ожидаемые ошибки, возникающие в результате просчетов, неверных действий и обнаруженные при дополнительном контроле;
• систематические отклонения, отличающиеся постоянством возникновения и закономерностями изменений при повторных операциях; к ним можно отнести периодические и функциональные погрешности;
• случайные, значения величин, которых не значительны, большая часть их мала, чем велика, встречаются как с положительными, так и с отрицательными значениями, в каждом конкретном случае они возникают отдельно случайным образом и в своей массе подчинены определенным вероятностным закономерностям;

Именно изучение случайных погрешностей в геодезии дает возможность производить оценки точности и получать наиболее надежные результаты.

Предельные и допустимые отклонения

При определенных факторах случайные ошибки по абсолютному значению своей величины не могут превышать определенного предела. Этот предел в геодезической и маркшейдерской практике имеет название предельной погрешности.

В строительном производстве нормативными документами введен термин предельного отклонения, который может иметь как положительное, так и отрицательное значения. Алгебраическая сумма этих параметров (предельных отклонений) имеет название допуска.

В геодезии крайние предельные значения отклонений, допускаемые нормативной документацией, называются допустимыми.

Средние, вероятные и средне квадратические погрешности

При различных оценках точности выполненных замеров применяются некоторые критерии случайных ошибок. К таким мерилам оценки относятся понятия:

• средне арифметического отклонения от всех случайных ошибок, имеющее название среднего уклонения;
• срединного отклонения, то есть находящегося в середине измеренного ряда по абсолютным значениям с учетом убывания и возрастания, именуемое вероятной ошибкой;
• средне квадратическое отклонение (СКО) – это параметр функции дисперсии (рассеивания) случайных величин результатов измерений. Он равен математическому ожиданию (среднему арифметическому значению) квадратов отклонений в измерениях от математического ожидания (среднего арифметического значения) результатов замеров.

Случайные погрешности подчиняются нормальному закону распределения и находятся в интервале от нуля до трех СКО. Большинство из них в пределах шестидесяти восьми процентов находятся в интервале до одного СКО. Девяносто пять процентов случайных величин попадает в интервал от нуля до двух СКО. Девяносто девять процентов случайных ошибок находится в интервале от нуля до трех СКО.

На основании этого в теоретических расчетах при предварительных оценках точности выполнения работ за предельные принимаются три средне квадратические ошибки. При геодезических и маркшейдерских работах на практике к расчетам принимаются двойные величины средне квадратических отклонений.