Абсолютные ошибки определения массы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2

Прямые измерения
массы тела с помощью рычажных весов и определение полной погрешности измерений

Цель работы:
измерить массы трёх предложенных тел прямым способом и рассчитать полную погрешность
результатов прямых  измерений.

Оборудование: три тела разной плотности, рычажные весы, разновес (набор гирь)

ТАОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

При определении 
полной погрешности  измеренного значения массы необходимо учитывать погрешность
весов , погрешность гирь
, и погрешность подбора гирь
.

  
Погрешность весов зависит от нагрузки линейно и
определяется по графику зависимости . Смотрите об этом §
75 учебника «физика-10» Пинский А.А. Вам необходимо построить такой график
самостоятельно в отчёте по следующим данным: при нагрузке  погрешность весов ,
а при нагрузке  ­­­­погрешность весов (см.§ 75). Зная, что зависимость линейная, построение графика не составит
никакого труда.

  
Погрешность гирь ,
входящих в набор гирь (разновес) приводится в таблице 1. Смотрите также 
§ 75 учебника «физика-10» Пинский А.А.

Таблица 1 Погрешность гирь

Погрешность гирь
равна сумме погрешностей всех использованных гирь (формула 1)

 (1)

Погрешность подбора гирь  аналогична погрешности отсчёта и половине
значения наименьшей гири, находящейся на весах, или той, которая выводит весы
из равновесия (формула 2)

 (2)

Таким образом, при прямом измерении массы тела
на весах граница абсолютной погрешности измерений (формула 3)

 (3)

Ниже смотрите пример определения полной
погрешности массы тела, измеренной прямым способом на рычажных весах.

Пример определения полной погрешности
массы тела

Пусть весы
находятся в равновесии, если на чашке лежат гири со значениями массы: , , . Тогда за результат измерения массы тела
принимается значение

  (4)

Погрешность
весов при нагрузке равна  . Как было сказано выше, это определяется
по графику зависимости , который уже
необходимо построить.

Таким образом:

 (5)

Погрешность
всех гирь определим,  пользуясь таблицей 1,
(см. формулу 1):

 (6)

Погрешность
подбора гирь определяем  по значению наименьшей
гири на весах (см. формулу 2)

 (7)

Полная
погрешность массы тела определяется как сумма всех
погрешностей (см. формулу 3)

 (8)

Полная погрешность
округляется до одной значащей цифры (общее правило для любых измерений), поэтому
в нашем примере для погрешности получаем окончательно:

 (9)

Результат измерения
массы записывается в интервальной форме:

Не забывайте, что
разряд последней цифры измеренного значения и разряд погрешности должны совпадать
(правило Брадиса-Крылова), поэтому в данном примере измеренное значение массы (см. формулу 4) округляется до разряда
десятых, т.к. погрешность находится в этом разряде (см. формулу 9)

Относительная
погрешность измерения массы определяется по
известной формуле:

ПРАКТИЧЕСКАЯ
ЧАСТЬ РАБОТЫ

ВНИМАНИЕ! Прежде
чем приступать к работе, вам необходимо изучить правила работы с весами. Обратитесь
к учебникам 7-го класса (Пёрышкин А.В. или Громов С.В.) и 10-го (Пинский А.А.).
Без знаний этих правил вас не допустят к работе.

Порядок
выполнения работы

1. Определите массу
   первого тела. Запишите значение массы в виде суммы масс всех гирь
   находящихся на весах. Смотрите пример выше.

(результат в граммах)

1. Постройте график
   зависимости погрешности весов от нагрузки (смотрите теоретическую часть
   работы) и по графику определите погрешность весов

(результат в миллиграммах)

1. Пользуясь таблицей
   1, определите погрешность всех гирь

(результат в миллиграммах)

1. По значению наименьшей гири на весах (не в
   наборе) определите погрешность подбора гирь

= (результат в миллиграммах)

1. Полная
   погрешность определяется как сумма всех погрешностей

= (результат выразите в граммах и
округлите до одной значащей цифры)

1. Округлите
   результат измерения массы (см. пункт 1 практической части) так, чтобы
   последняя цифра в округлённом результате принадлежала тому же разряду, в
   котором находится значащая цифра полной абсолютной  погрешности (пункт 2).

1. Результат
   запишите в интервальной форме в соответствии с правилом Брадиса-Крылова

1. Определите относительную погрешность
   измерения массы

ПОВТОРИТЬ ИЗМЕРЕНИЯ
В СООТВЕТСТВИИ С ПУНКТАМИ 1-8 ДЛЯ ДВУХ ДРУГИХ ТЕЛ

ВСЕ ЗАПИСИ И
РАСЧЁТЫ ВЫПОЛНЯТЬ В ЛАБОРАТОРНАОЙ ТЕТРАДИ 

ОТЧЁТ К РАБОТЕ ПОДГОТОВИТЬ
ПО ПЕРДЛАГАЕМОЙ ФОРМЕ (СМ.НИЖЕ)

ОТЧЁТ К РАБОТЕ № 2                                                             ВЫПОЛНИЛ­­­­­­­­­­­­­­­­________________________

Цель работы:_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

Оборудование:_____________________________________________________________________________

Расчёт погрешности измерения массы первого
тела

(Выполняется в
соответствии с пунктами 1-8)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Расчёт погрешности измерения массы второго
тела

(Выполняется в
соответствии с пунктами 1-8)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Расчёт погрешности измерения массы третьего
тела

(Выполняется в
соответствии с пунктами 1-8)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вывод

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ (ОТВЕТИТЬ ПИСЬМЕННО И СДАТЬ С ОТЧЁТОМ)

1 Как определяется погрешность весов?

Ответ на вопрос 1__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 Как определяется погрешность гирь?

Ответ на вопрос
2__________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3 Как определяется погрешность подбора
гирь?

Ответ на вопрос
3__________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4 Как определяется полная абсолютная 
погрешность измерения массы?

Ответ на вопрос
4__________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5 Как определяется относительная
погрешность и что она показывает?

Ответ на вопрос
5__________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6 Какие цифры числа являются значащими? В
чём состоит правило Брадиса-Крылова?

Ответ на вопрос
6__________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Была ли эта статья полезной?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2

Прямые измерения
массы тела с помощью рычажных весов и определение полной погрешности измерений

Цель работы:
измерить массы трёх предложенных тел прямым способом и рассчитать полную погрешность
результатов прямых  измерений.

Оборудование: три тела разной плотности, рычажные весы, разновес (набор гирь)

ТАОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

При определении 
полной погрешности  измеренного значения массы необходимо учитывать погрешность
весов , погрешность гирь
, и погрешность подбора гирь
.

  
Погрешность весов зависит от нагрузки линейно и
определяется по графику зависимости . Смотрите об этом §
75 учебника «физика-10» Пинский А.А. Вам необходимо построить такой график
самостоятельно в отчёте по следующим данным: при нагрузке  погрешность весов ,
а при нагрузке  ­­­­погрешность весов (см.§ 75). Зная, что зависимость линейная, построение графика не составит
никакого труда.

  
Погрешность гирь ,
входящих в набор гирь (разновес) приводится в таблице 1. Смотрите также 
§ 75 учебника «физика-10» Пинский А.А.

Таблица 1 Погрешность гирь

Погрешность гирь
равна сумме погрешностей всех использованных гирь (формула 1)

 (1)

Погрешность подбора гирь  аналогична погрешности отсчёта и половине
значения наименьшей гири, находящейся на весах, или той, которая выводит весы
из равновесия (формула 2)

 (2)

Таким образом, при прямом измерении массы тела
на весах граница абсолютной погрешности измерений (формула 3)

 (3)

Ниже смотрите пример определения полной
погрешности массы тела, измеренной прямым способом на рычажных весах.

Пример определения полной погрешности
массы тела

Пусть весы
находятся в равновесии, если на чашке лежат гири со значениями массы: , , . Тогда за результат измерения массы тела
принимается значение

  (4)

Погрешность
весов при нагрузке равна  . Как было сказано выше, это определяется
по графику зависимости , который уже
необходимо построить.

Таким образом:

 (5)

Погрешность
всех гирь определим,  пользуясь таблицей 1,
(см. формулу 1):

 (6)

Погрешность
подбора гирь определяем  по значению наименьшей
гири на весах (см. формулу 2)

 (7)

Полная
погрешность массы тела определяется как сумма всех
погрешностей (см. формулу 3)

 (8)

Полная погрешность
округляется до одной значащей цифры (общее правило для любых измерений), поэтому
в нашем примере для погрешности получаем окончательно:

 (9)

Результат измерения
массы записывается в интервальной форме:

Не забывайте, что
разряд последней цифры измеренного значения и разряд погрешности должны совпадать
(правило Брадиса-Крылова), поэтому в данном примере измеренное значение массы (см. формулу 4) округляется до разряда
десятых, т.к. погрешность находится в этом разряде (см. формулу 9)

Относительная
погрешность измерения массы определяется по
известной формуле:

ПРАКТИЧЕСКАЯ
ЧАСТЬ РАБОТЫ

ВНИМАНИЕ! Прежде
чем приступать к работе, вам необходимо изучить правила работы с весами. Обратитесь
к учебникам 7-го класса (Пёрышкин А.В. или Громов С.В.) и 10-го (Пинский А.А.).
Без знаний этих правил вас не допустят к работе.

Порядок
выполнения работы

1. Определите массу
   первого тела. Запишите значение массы в виде суммы масс всех гирь
   находящихся на весах. Смотрите пример выше.

(результат в граммах)

1. Постройте график
   зависимости погрешности весов от нагрузки (смотрите теоретическую часть
   работы) и по графику определите погрешность весов

(результат в миллиграммах)

1. Пользуясь таблицей
   1, определите погрешность всех гирь

(результат в миллиграммах)

1. По значению наименьшей гири на весах (не в
   наборе) определите погрешность подбора гирь

= (результат в миллиграммах)

1. Полная
   погрешность определяется как сумма всех погрешностей

= (результат выразите в граммах и
округлите до одной значащей цифры)

1. Округлите
   результат измерения массы (см. пункт 1 практической части) так, чтобы
   последняя цифра в округлённом результате принадлежала тому же разряду, в
   котором находится значащая цифра полной абсолютной  погрешности (пункт 2).

1. Результат
   запишите в интервальной форме в соответствии с правилом Брадиса-Крылова

1. Определите относительную погрешность
   измерения массы

ПОВТОРИТЬ ИЗМЕРЕНИЯ
В СООТВЕТСТВИИ С ПУНКТАМИ 1-8 ДЛЯ ДВУХ ДРУГИХ ТЕЛ

ВСЕ ЗАПИСИ И
РАСЧЁТЫ ВЫПОЛНЯТЬ В ЛАБОРАТОРНАОЙ ТЕТРАДИ 

ОТЧЁТ К РАБОТЕ ПОДГОТОВИТЬ
ПО ПЕРДЛАГАЕМОЙ ФОРМЕ (СМ.НИЖЕ)

ОТЧЁТ К РАБОТЕ № 2                                                             ВЫПОЛНИЛ­­­­­­­­­­­­­­­­________________________

Цель работы:_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

Оборудование:_____________________________________________________________________________

Расчёт погрешности измерения массы первого
тела

(Выполняется в
соответствии с пунктами 1-8)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Расчёт погрешности измерения массы второго
тела

(Выполняется в
соответствии с пунктами 1-8)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Расчёт погрешности измерения массы третьего
тела

(Выполняется в
соответствии с пунктами 1-8)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вывод

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ (ОТВЕТИТЬ ПИСЬМЕННО И СДАТЬ С ОТЧЁТОМ)

1 Как определяется погрешность весов?

Ответ на вопрос 1__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 Как определяется погрешность гирь?

Ответ на вопрос
2__________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3 Как определяется погрешность подбора
гирь?

Ответ на вопрос
3__________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4 Как определяется полная абсолютная 
погрешность измерения массы?

Ответ на вопрос
4__________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5 Как определяется относительная
погрешность и что она показывает?

Ответ на вопрос
5__________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6 Какие цифры числа являются значащими? В
чём состоит правило Брадиса-Крылова?

Ответ на вопрос
6__________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Физические величины характеризуются понятием «точность погрешности». Есть высказывание, что путем проведения измерений можно прийти к познанию. Так удастся узнать, какова высота дома или длина улицы, как и многие другие.

Введение

Разберемся в значении понятия «измерить величину». Процесс измерения заключается в том, чтобы сравнить её с однородными величинами, которые принимают в качестве единицы.

Для определения объёма используются литры, для вычисления массы применяются граммы. Чтобы было удобнее производить расчеты, ввели систему СИ международной классификации единиц.

За измерение длины вязли метры, массы – килограммы, объёма – кубические литры, времени – секунды, скорости – метры за секунду.

При вычислении физических величин не всегда нужно пользоваться традиционным способом, достаточно применить вычисление при помощи формулы. К примеру, для вычисления таких показателей, как средняя скорость, необходимо поделить пройденное расстояние на время, проведенное в пути. Так производятся вычисления средней скорости.

Применяя единицы измерения, которые в десять, сто, тысячу раз превышают показатели принятых измерительных единиц, их называют кратными.

Наименование каждой приставки соответствует своему числу множителя:

1. Дека.
2. Гекто.
3. Кило.
4. Мега.
5. Гига.
6. Тера.

В физической науке для записи таких множителей используется степень числа 10. К примеру, миллион обозначается как 10⁶.

В простой линейке длина имеет единицу измерения – сантиметр. Она в 100 раз меньше метра. 15-сантиметровая линейка имеет длину 0,15 м.

Линейка является простейшим видом измерительных приборов для того, чтобы измерять показатели длины. Более сложные приборы представлены термометром – чтобы измерять температуру, гигрометром – чтобы определять влажность, амперметром – замерять уровень силы, с которой распространяется электрический ток.

Насколько точны будут показатели проведенных измерений?

Возьмем линейку и простой карандаш. Наша задача заключается в измерении длины этой канцелярской принадлежности.

Для начала потребуется определить, какова цена деления, указанная на шкале измерительного прибора. На двух делениях, которые являются ближайшими штрихами шкалы, написаны цифры, к примеру, «1» и «2».

Необходимо подсчитать, сколько делений заключено в промежутке этих цифр. При правильном подсчете получится «10». Вычтем от того числа, которое является большим, число, которое будет меньшим, и поделим на число, которое составляют деления между цифрами:

(2-1)/10 = 0,1 (см)

Так определяем, что ценой, определяющей деление канцелярской принадлежности, является число 0,1 см или 1 мм. Наглядно показано, как определяется показатель цены для деления с применением любого измерительного прибора.

Измеряя карандаш с длиной, которая немного меньше, чем 10 см, воспользуемся полученными знаниями. При отсутствии на линейке мелкого деления, следовал бы вывод, что предмет имеет длину 10 см. Это приблизительное значение названо измерительной погрешностью. Она указывает на тот уровень неточности, которая может допускаться при проведении измерений.

Определяя параметры длины карандаша с более высоким уровнем точности, большей ценой деления достигается большая измерительная точность, которая обеспечивает меньшую погрешность.

При этом абсолютно точного выполнения измерений не может быть. А показатели не должны превышать размеры цены деления.

Установлено, что размеры измерительной погрешности составляют ½ цены, которая указана на делениях прибора, который применяется для определения размеров.

После выполнения замеров карандаша в 9,7 см определим показатели его погрешности. Это промежуток 9,65 — 9,85 см.

Формулой, измеряющей такую погрешность, является вычисление:

А = а ± D (а)

А — в виде величины для измерительных процессов;

а — значение результата замеров;

D — обозначение абсолютной погрешности.

Если слаживать или вычитать величины с учетом погрешности, это число будет составлять сумму цифр, которые и обозначают погрешность, и имеются у каждой отдельно взятой величины.

При вычитании или складывании величин с погрешностью результат будет равен сумме показателей погрешности, которую составляет каждая отдельная величина.

Знакомство с понятием

Если рассматривать классификацию погрешностей в зависимости от способа её выражения, можно выделить такие разновидности:

• Абсолютную.
• Относительную.
• Приведенную.

Абсолютная погрешность измерений обозначается буквой «Дельта» прописной. Это понятие определяется в виде разности между измеренными и действительными значениями той физической величины, которая измеряется.

Выражением абсолютной погрешность измерений являются единицы той величины, которую необходимо измерить.

При измерении массы она будет выражаться, к примеру, в килограммах. Это не эталон точности измерений.

Как рассчитать погрешность прямых измерений?

Есть способы изображения погрешности измерения и их вычисления. Для этого важно уметь определять физическую величину с необходимой точностью, знать, что такое абсолютная погрешность измерений, что её никто никогда не сможет найти. Можно вычислить только её граничное значение.

Даже если условно употребляется этот термин, он указывает именно на граничные данные. Абсолютная и относительная погрешность измерений обозначаются одинаковыми буквами, разница в их написании.

При измерении длины абсолютная погрешность будет измеряться в тех единицах, в которых исчисляться длина. А относительная погрешность вычисляется без размеров, так как она является отношением абсолютной погрешности к результату измерения. Такую величину часто выражают в процентах или в долях.

Абсолютная и относительная погрешность измерений имеют несколько разных способов вычисления в зависимости от того, какой метод измерения физических величин.

Понятие прямого измерения

Абсолютная и относительная погрешность прямых измерений зависят от класса точности прибора и умения определять погрешность взвешивания.

Прежде чем говорить о том, как вычисляется погрешность, необходимо уточнить определения. Прямым называется измерение, при котором происходит непосредственное считывание результата с приборной шкалы.

Когда мы пользуемся термометром, линейкой, вольтметром или амперметром, то всегда проводим именно прямые измерения, так как применяем непосредственно прибор со шкалой.

Есть два фактора, которые влияют на результативность показаний:

• Погрешностью приборов.
• Погрешностью системы отсчета.

Граница абсолютной погрешности при прямых измерениях будет равна сумме погрешности, которую показывает прибор, и погрешности, которая происходит в процессе отсчета.

D = D (пр.) + D (отс.)

Пример с медицинским термометром

Показатели погрешности указаны на самом приборе. На медицинском термометре прописана погрешность 0,1 градусов Цельсия. Погрешность отсчета составляет половину цены деления.

D отс. = С/2

Если цена деления 0,1 градуса, то для медицинского термометра можно произвести вычисления:

D = 0,1^o С ₊ 0,1^o С _/ 2 ₌ 0,15^o С

На тыльной стороне шкалы другого термометра есть ТУ и указано, что для правильности измерений необходимо погружать термометр всей тыльной частью. Точность измерения не указана. Остается только погрешность отсчета.

Если цена деления шкалы этого термометра равна 2^o С, то можно измерять температуру с точностью до 1^o С. Таковы пределы допускаемой абсолютной погрешности измерений и вычисление абсолютной погрешности измерений.

Особую систему вычисления точности используют в электроизмерительных приборах.

Точность электроизмерительных приборов

Чтобы задать точность таких устройств, используется величина, называемая классом точности. Для её обозначения применяют букву «Гамма». Чтобы точно произвести определение абсолютной и относительной погрешности измерений, нужно знать класс точности прибора, который указан на шкале.

Возьмем, к примеру, амперметр. На его шкале указан класс точности, который показывает число 0,5. Он пригоден для измерений на постоянном и переменном токе, относится к устройствам электромагнитной системы.

Это достаточно точный прибор. Если сравнить его со школьным вольтметром, видно, что у него класс точности – 4. Эту величину обязательно знать для дальнейших вычислений.

Применение знаний

Таким образом, D c = c (max) Х γ /100

Этой формулой и будем пользоваться для конкретных примеров. Воспользуемся вольтметром и найдем погрешность измерения напряжения, которое дает батарейка.

Подключим батарейку непосредственно к вольтметру, предварительно проверив, стоит ли стрелка на нуле. При подключении прибора стрелка отклонилась на 4,2 деления. Это состояние можно охарактеризовать так:

1. Видно, что максимальное значение U для данного предмета равно 6.
2. Класс точности –(γ) = 4.
3. U(о) = 4,2 В.
4. С=0,2 В

Пользуясь этими данными формулы, абсолютная и относительная погрешность измерений вычисляется так:

D U = DU (пр.)+ С/2

D U (пр.) = U (max) Х γ /100

D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В

Это погрешность прибора.

Расчет абсолютной погрешности измерений в этом случае будет выполнен так:

D U = 0,24 В + 0,1 В = 0,34 В

По рассмотренной формуле без труда можно узнать, как рассчитать абсолютную погрешность измерений.

Существует правило округления погрешностей. Оно позволяет найти средний показатель между границей абсолютной погрешности и относительной.

Учимся определять погрешность взвешивания

Это один из примеров прямых измерений. На особом месте стоит взвешивание. Ведь у рычажных весов нет шкалы. Научимся определять погрешность такого процесса. На точность измерения массы влияет точность гирь и совершенство самих весов.

Мы пользуемся рычажными весами с набором гирь, которые необходимо класть именно на правую чашу весов. Для взвешивания возьмем линейку.

Перед началом опыта нужно уравновесить весы. Линейку кладем на левую чашу.

Масса будет равна сумме установленных гирь. Определим погрешность измерения этой величины.

D m = D m (весов) + D m (гирь)

Погрешность измерения массы складывается из двух слагаемых, связанных с весами и гирями. Чтобы узнать каждую из этих величин, на заводах по выпуску весов и гирь продукция снабжается специальными документами, которые позволяют вычислить точность.

Применение таблиц

Воспользуемся стандартной таблицей. Погрешность весов зависит от того, какую массу положили на весы. Чем она больше, тем, соответственно, больше и погрешность.

Даже если положить очень легкое тело, погрешность будет. Этот связано с процессом трения, происходящим в осях.

Вторая таблица относится к набору гирь. На ней указано, что каждая из них имеет свою погрешность массы. 10-граммовая имеет погрешность в 1 мг, как и 20-граммовая. Просчитаем сумму погрешностей каждой из этих гирек, взятой из таблицы.

Удобно писать массу и погрешность массы в двух строчках, которые расположены одна под другой. Чем меньше гири, тем точнее измерение.

Итоги

В ходе рассмотренного материала установлено, что определить абсолютную погрешность невозможно. Можно лишь установить её граничные показатели. Для этого используются формулы, описанные выше в вычислениях. Данный материал предложен для изучения в школе для учеников 8-9 классов. На основе полученных знаний можно решать задачи на определение абсолютной и относительной погрешности.

Погрешность измерения

Абсолютная погрешность — измерительный прибор

Абсолютная погрешность измерительного прибора представляет собой расхождение ( разность) между измеренным Ли и действительным ( истинным) Лд значениями измеряемой величины ДЛ — / 4н — Ац. Истинное значение измеряемой величины находят с учетом поправки. Поправка — это величина, обратная по знаку абсолютной погрешности: ДР — ДЛ Ал-А. Абсолютная погрешность электроизмерительных приборов со стрелочным показателем практически неизменна в пределах всей шкалы, поэтому с уменьшением значения измеряемой величины она возрастает. Для повышения точности измерения измеряемой величины на показывающих приборах со стрелочным указателем следует выбирать такие пределы измерения, чтобы отсчитывать показания примерно в пределах 2 / 3 всей шкалы.
 

Абсолютная погрешность измерительного прибора равна разности между показанием прибора и действительным ( точным) значением измеряемой величины.
 

Абсолютная погрешность измерительного прибора определяется разностью между показанием прибора и истинным значением измеряемой величины. Погрешность показаний прибора имеет своими источниками погрешности отдельных его элементов: чувствительного элемента, передаточного механизма и шкалы. Погрешность чувствительного элемента заключается в том, что действительная зависимость его перемещений от измеряемой величины не совпадает с расчетной, заложенной в схему прибора. Погрешность шкалы складывается из ошибки положения ее штрихов и эксцентриситета шкалы.
 

Абсолютной погрешностью измерительного прибора называется разность между его показанием и истинным значением измеряемой величины. Так как истинное значение измеряемой величины установить нельзя, в измерительной технике используется так называемое действительное значение, полученное с помощью образцового прибора.
 

Абсолютной погрешностью измерительного прибора называется разность между его показанием и истинным значением измеряемой величины. Поскольку последнее установить нельзя, то в измерительной технике используют так называемое действительное значение, полученное посредством образцового прибора.
 

Абсолютной погрешностью измерительного прибора называется разность между его показанием и истинным значением измеряемой величины Так как величину истинного значения измеряемой величины установить нельзя, в измерительной технике используется так называемое действительное значение, полученное с помощью образцового прибора.
 

Приведенная погрешность измерительного прибора — отношение абсолютной погрешности измерительного прибора к нормирующему значению, выраженное в процентах.
 

Корректность поставленных экспериментов доказана отсутствием превышения абсолютных ошибок измерения как при определении перемещений, так и напряжений над абсолютной погрешностью используемых измерительных приборов.
 

В некоторых случаях ( для образцовых и рабочих средств измерений повышенной точности) для исключения систематической погрешности показаний вводят поправку, равную абсолютной погрешности измерительного прибора.
 

Абсолютная погрешность измерительного прибора определяется разностью между показанием прибора и действительным значением измеряемой величины.
 

В данном разделе будут рассмотрены виды погрешностей, свойственные мерам, отдельным элементам и устройствам, а также средствам измерений в целом. Под абсолютной погрешностью меры понимают разность ( отклонение от номинального значения) между номинальным значением меры и истинным значением воспроизводимой ею величины. Так как истинное значение величины остается неизвестным, то на практике вместо него используют действительное значение величины. Следует различать абсолютную погрешность измерительного преобразователя по входу и по выходу. Абсолютную погрешность измерительного преобразователя по входу находят как разность между значением величины на входе преобразователя, определяемой в принципе по истинному значению величины на его выходе с помощью градуировочной характеристики, приписанной преобразователю, и истинным значением величины на входе преобразователя. Абсолютную погрешность измерительного преобразователя по выходу находят как разность между истинным значением величины на выходе преобразователя, отображающей измеряемую величину, и значением величины на выходе, определяемой в принципе по истинному значению величины на выходе с помощью градуировочной характеристики, приписанной преобразователю. Относительная погрешность измерительного прибора определяется как отношение абсолютной погрешности измерительного прибора к истинному значению измеряемой им величины.
 

При многократном измерении одной и той же величины каждый раз получают несколько отличающиеся результаты, как по абсолютной величине, так и по знакам, каким бы опытом не обладал исполнитель и какими бы высокоточными приборами он не пользовался.
Погрешности различают: грубые, систематические и случайные.
Появление грубых погрешностей (промахов) связано с серьезными ошибками при производстве измерительных работ. Эти ошибки легко выявляются и устраняются в результате контроля измерений.Систематические погрешностивходят в каждый результат измерений по строго определенному закону. Они обусловлены влиянием конструкции измерительных приборов, погрешностями градуировки их шкал, износом и т. д. (инструментальные погрешности)иливозникают из-за недоучета условий измерений и закономерностей их изменений, приближенности некоторых формул и др. (методические погрешности). Систематические погрешности делятся на постоянные (неизменные по знаку и вели чине) и переменные (изменяющие свою величину от одного измерения к другому по определенному закону).
Такие погрешности заранее определимы и могут быть сведены к необходимому минимуму путем введения соответствующих поправок.Например, заранее может быть учтено влияние кривизны Земли на точность определения вертикальных расстояний, влияние температуры воздуха и атмосферного давления при определении длин линий светодальномерами или электронными тахеометрами, заранее можно учесть влияние рефракции атмосферы и т. д.
Если не допускать грубых погрешностей и устранять систематические, то качество измерений будет определяться только случайными погрешностями. Эти погрешности неустранимы, однако их поведение подчиняется законам больших чисел. Их можно анализировать, контролировать и сводить к необходимому минимуму.
Для уменьшения влияния случайных погрешностей на результаты измерений прибегают к многократным измерениям, к улучшению условий работы, выбирают более совершенные приборы, методы измерений и осуществляют тщательное их производство.
Сопоставляя ряды случайных погрешностей равноточных измерений можно обнаружить, что они обладают следующими свойствами:
а) для данного вида и условий измерений случайные погрешности не могут превышать по абсолютной величине некоторого предела;
б) малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще больших;
в) положительные погрешности появляются так же часто, как и равные им по абсолютной величине отрицательные;
г) среднее арифметическое из случайных погрешностей одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений.
Распределение ошибок, соответствующее указанным свойствам, называется нормальным (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Кривая нормального распределения случайных погрешностей Гаусса

Разность между результатом измерения некоторой величины (l) и ее истинным значением (X) называют абсолютной (истинной) погрешностью.

Δ = l — X

Истинное (абсолютно точное) значение измеряемой величины получить невозможно, даже используя приборы самой высокой точности и самую совершенную методику измерений. Лишь в отдельных случаях может быть известно теоретическое значение величины. Накопление погрешностей приводит к образованию расхождений между результатами измерений и действительными их значениями.Разность суммы практически измеренных (или вычисленных) величин и теоретического ее значения называется невязкой. Например, теоретическая сумма углов в плоском треугольнике равна 180º, а сумма измеренных углов оказалась равной 180º02′; тогда погрешность суммы измеренных углов составит +0º02′. Эта погрешность будет угловой невязкой треугольника.
Абсолютная погрешность не является, полным показателем точности выполненных работ. Например, если некоторая линия, фактическая длина которой составляет 1000 м, измерена землемерной лентой с ошибкой 0,5 м, а отрезок длиною 200 м  – с ошибкой 0,2 м, то, несмотря на то, что абсолютная погрешность первого измерения больше второго, все же первое измерение было выполнено с точностью в два раза более высокой. Поэтому вводят понятие относительной погрешности:

Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины Δ к измеренной величине l называют относительной погрешностью.

Относительные погрешности всегда выражаются дробью с числителем, равным единице (аликвотная дробь). Так, в приведенном выше примере относительная погрешность первого измерения составляет

,

а второго 

Погрешность — измерительный прибор

Погрешность измерительных приборов часто выражают в процентах от диапазона шкалы. Такая погрешность называется приведенной относительной погрешностью.
 

Погрешности измерительных приборов подразделяются на основные и дополнительные.
 

Погрешность измерительного прибора определяется структурными и конструктивными особенностями самого прибора, свойствами примененных в нем материалов и элементов, особенностями технологии изготовления, градуировки.
 

Погрешность измерительного прибора определяется поверкой. Показания образцового прибора в этом случае считают действительным значением измеряемой величины. В процессе поверки на результаты многократных измерений воздействуют самые различные факторы как систематического, так и случайного характера, результатом чего являются систематические и случайные-ошибки измерения. Вычисление и суммирование этих ошибок производится по правилам теории вероятностей, причем систематические погрешности суммируются алгебраически, а для суммирования средних квадратичных значений погрешности необходимо учитывать вид закона распределения случайных погрешностей, взаимных корреляционных связей и степень достоверности определения результатов измерений.
 

Погрешность измерительного прибора представляет собой отклонение его показания от значения воздействующей на вход измеряемой величины. Поэтому источники погрешности измерительного прибора совпадают с таковыми для измерительного преобразователя.
 

Погрешность измерительного прибора, полученная при измерениях в нормальных условиях, называется основной погрешностью.
 

Погрешность измерительного прибора зависит от hoi решностей его отдельных viob. Суммирование погрешностей осуществляется по определенным правилам Систематические погрешности s, суммируют ал1ебраически с учетом собс.
 

Погрешность измерительного прибора в динамическом режиме возникает вследствие того, что время установления переходных процессов в приборе больше интервала изменения измеряемой величины. Опираясь на понятия теории случайных процессов, можно сказать, что эта погрешность заметно проявляется тогда, когда постоянная времени прибора превосходит интервал корреляции случайного процесса, реализация которого подана на вход прибора.
 

Погрешность измерительного прибора представляет собой разность между показаниями прибора и истинным значением измеряемой величины, а погрешность меры — разность между номинальным значением меры и истинным значением воспроизводимой ею величины.
 

Погрешность измерительных приборов при этом весьма большая. Поэтому измеряют величину 1-а, равную отношению тока базы к току эмиттера. Ток эмиттера транзистора измеряют косвенно. Генератор тока подключают к нагрузочному сопротивлению в цепи коллектора, равному 50 ом, и вольтметром V измеряют падение напряжения на нем. Измеренный таким образом ток будет протекать через эмиттер, когда источник тока подключим к входной цепи транзистора. В этом положении ток базы определяют по падению напряжения на сопротивлении 1 ком, включенном в цепь базы.
 

Погрешности измерительных приборов бывают систематические и случайные. Систематические погрешности во многих случаях могут быть устранены поправкой или компенсированы.
 

Погрешность измерительного прибора представляет собой разность между показаниями прибора и истинным значением измеряемой величины, а погрешность меры — разность между номинальным значением меры и истинным значением воспроизводимой ею величины.
 

Погрешностей измерительных приборов, складывающихся из погрешности прибора, измеряющего данный параметр и из погрешностей приборов, по которым устанавливается режим работы ламп.
 

Погрешностью измерительного прибора называют отклонение его показаний от действительного значения измеряемой величины, определенного с известной более высокой точностью.
 

4. ВЕСА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При неравноточных измерениях, когда результаты каждого измерения нельзя считать одинаково надежными, уже нельзя обойтись определением простого арифметического среднего. В таких случаях учитывают достоинство (или надежность) каждого результата измерений.Достоинство результатов измерений выражают некоторым числом, называемым весом этого измерения. Очевидно, что арифметическое среднее будет иметь больший вес по сравнению с единичным измерением, а измерения, выполненные при использовании более совершенного и точного прибора, будут иметь большую степень доверия, чем те же измерения, выполненные прибором менее точным.
Поскольку условия измерений определяют различную величину средней квадратической погрешности, то последнюю и принято принимать в качестве основы оценки весовых значений, проводимых измерений. При этом веса результатов измерений принимают обратно пропорциональными квадратам соответствующих им средних квадратических погрешностей.
Так, если обозначить через р и Р веса измерений, имеющие средние квадратические погрешности соответственно m и µ, то можно записать соотношение пропорциональности:

Например, если µ средняя квадратическая погрешность арифметического среднего, а m – соответственно, одного измерения, то, как следует из

можно записать:

т. е. вес арифметического среднего в n раз больше веса единичного измерения.

Аналогичным образом можно установить, что вес углового измерения, выполненного 15-секундным теодолитом, в четыре раза выше веса углового измерения, выполненного 30-секундным прибором.

При практических вычислениях обычно вес одной какой-либо величины принимают за единицу и при этом условии вычисляют веса остальных измерений. Так, в последнем примере если принять вес результата углового измерения 30-секундным теодолитом за р = 1, то весовое значение результата измерения 15-секундным теодолитом составит Р = 4.

Максимальная абсолютная погрешность

В цифровых циклических приборах выходной код N приближается к искомому отсчету Nх с одной стороны, сверху или снизу, поэтому при АХп ч 0 максимальная абсолютная погрешность от квантования равна ступени & хк.
 

Здесь: Арн — максимальная абсолютная погрешность величины рн, равная половине единицы разряда последней значащей цифры в табличном значении рн; Ар и АГ — максимальные абсолютные погрешности измерения р и Т соответственно.
 

Абсолютная погрешность температурного предела смеси при использовании в расчете надежных экспериментальных данных по давлению пара чистых компонентов, растворимости и коэффициентам активности, как правило, не превышает максимальной абсолютной погрешности температурного предела компонентов смеси.
 

Абсолютная погрешность при изображении в ячейке чисел с запятой, фиксированной после определенного разряда, не превосходит по величине единицы младшего разряда, то есть, как говорят, максимальная абсолютная погрешность при этом постоянна. https://spb-evacuator.ru.
 

Для учета в модели однократной экстракции NRTL влияния воды, были дополнительно подобраны эмпирические коэффициенты бинарного взаимодействия воды с компонентами системы, применение которых при численных исследованиях существенно уменьшило погрешности моделирования в области содержания воды в экстрагенте выше 8 % об. По выходу рафината и содержанию в нем аренов максимальные абсолютные погрешности в этой области составляют 0 6 и 0 9 %, соответственно. Погрешности расчета по выходу экстракта и содержания в нем аренов снизились до 0 6 и 1 1 %, что составляет 4 8 и 1 4 % относительной по.
 

Следует отметить, что для измерения среднего фазового сдвига рассмотренным методом характерно уменьшение погрешности дискретности по сравнению с имеющей место при измерении одиночного интервала времени. Хотя максимальная абсолютная погрешность дискретности определения длительности одного интервала АГ составляет ГСЧ, результирующая погрешность за время измерения Ткзм уменьшается, так как результаты измерения всех k интервалов АГ суммируются, а возникновение частотной погрешности дискретности положительного или отрицательного знака равновероятно.
 

Рассмотрим погрешность от квантования. Следовательно, максимальная абсолютная погрешность от квантования будет равна единице.
 

Второй способ сводится к увеличению числа импульсов, заполняющих временные ворота, достигаемому умножением частоты исследуемого сигнала. При этом максимальная абсолютная погрешность меняется ( если неизменна длительность ворот), но уменьшается относительная погрешность. Осуществление данного способа сопряжено с применением дополнительного блока — умножителя частоты, что усложняет и удорожает аппаратуру.
 

Максимальную погрешность Дгд Т0 удобно учитывать через эквивалентное случайное изменение числа счетных импульсов Nx на 1 импульс. При этом максимальная абсолютная погрешность дискретизации может быть определена разностью значений частоты / получаемых по формулам (7.4) или (7.5) при Л 1 и Nx, и равна А.
 

Максимальные абсолютные погрешности показаний манометров Мп и Мв, исправленных на систематические погрешности приборов, принимаются равными 0 2н — 0 5 цены наименьшего деления шкалы, если эта величина не превышает вариации показаний прибора. В противном случае максимальная абсолютная погрешность равна вариации показа ний прибора, которая определяется при тарировании.
 

Максимальные абсолютные погрешности показаний манометров М и Мв, исправленных на систематические погрешности приборов, принимаются равными 0 2 — 0 5 цены наименьшего деления шкалы, если эта величина не превышает вариации показаний прибора. В ином случае максимальная абсолютная погрешность будет равна вариации показаний прибора, которая определяется при тарировании.
 

Точность результата зависит от того, в каком состоянии находится счетчик-интегратор в момент остановки цикла вычисления. Для этого значения получаем максимальную абсолютную погрешность — 5 импульсов младшего разряда.
 

Например, при отсчете или установке визира на логарифмической линейке длиной 250 мм ошибка не превышает 0 1 мм. Таким образом, обычно бывает известна максимальная абсолютная погрешность, получаемая при измерении величины х; обозначим эту погрешность через их.
 

а a изм аист ед.изм. 4

Это
размерная, положительная величина, характеризующая отклонение измеренного от
истинного значений.

Относительная погрешность – это
отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины.

                                 
                                    (5)

Относительная
погрешность (5) – безразмерная величина, она измеряется в долях или процентах и
показывает какую часть от истинного значения измеряемой величины составляет
погрешность.

На
практике вместо неизвестного истинного значения используют среднее значение
измеряемой величины.

Формула (5) позволяет по
известной одной из характеристик определить другую. Часто вначале удобнее найти
относительную, а через неё абсолютную.

Если
измерение выполнено и погрешности определены, то окончательный результат
записывается в виде

        .                (6)

что эквивалентно заданию
интервала, в котором лежит истинное значение искомой величины. И чем уже данный
интервал, тем точнее измерения и наоборот.

4.
Вычисление погрешностей.

За
абсолютную погрешность однократно измеряемой величины применяют приборную
погрешность.

Для
простых измерительных и цифровых приборов приборная погрешностьравная
половине цены деления прибора.

                                         .                                                     (7)

Например:
приборная погрешность

                  
миллиметровой линейки (с=1 мм/_дел) равна, Δа_пр
=  0,5 мм.

                  
штангенциркуля (с=0,05 мм/_дел) – Δа_пр
= 0,025 мм.

                   эл.
секундомера (с=0,001 с/_дел) – Δа_пр
= 0,0005 с.

Для
стрелочных электроизмерительных приборов приборная погрешность определятся
через класс точности прибора (характеристика прибора указанная на его
шкале).

                                              ,                                               
(8)

представляющая
собой отношение приборной погрешности к максимальному значению измеряемой
прибором величины. Из (8) для приборной погрешности стрелочных
электроизмерительных приборов получаем:

                                
ΔАприб. = 0,01 · К · Аmax
.                  
                          (9) 

Часто
в расчетах приходится использовать физические и математические постоянные,
которые как правило выражаются сложными десятичными дробями

(π=
3.141593… , е = 2.718282… , с = 2.99792… · 108 м/_с

 q_e =
1,60219… · 10-19 Kл , m_е =
1.67265… · 10-31к2    и т.д.). 

При
использовании постоянных мы вынуждены их округлять т.е. брать приближённые
значения, это также даёт вклад в погрешность. К погрешностям табличных величин
относятся так же как и к приборным.

За
погрешность табличной величины принимают половину  единицы последнего разряда
табличной величины, выбранной с заданной точностью.

Например; при определении
плотности тела цилиндрической формы необходимо использовать число π.
Предварительно оговаривается точность расчётов (например вычисления проводят с
точностью до        

четырёх  значащих цифр).
Тогда используемое число π и погрешность Δπ соответственно будут равны:

π =
3.142,     Δπ = 0.0005

и окончательная запись числа
π с погрешностью имеет вид:

б)
Погрешности многократно измеряемых величин.

Погрешности
многократных измерений в рамках линейной теории оцениваются по следующей схеме

30 Поверка и калибровка си. Определения. Правовые основы.

В
соответствии с законом РК «Об обеспечении
единства измерений» введе­ны следующие
понятия:

— поверка
средства измерений —
совокупность операций, выполняемых
органа­ми Государственной метрологической
службы (другими уполномоченными на то
органами, организациями) с целью
определения и подтверждения соответ­ствия
средства измерений установленным
требованиям;

— калибровка
средств измерений —
совокупность операций, выполняемых с
це­лью определения и подтверждения
действительных значений метрологических
характеристик и/или пригодности к
применению средства измерений, не
под­лежащего государственному
метрологическому контролю и надзору.

В
обоих случаях, как при поверке, так и
при калибровке, определяются метрологические
характеристики средств измерений,
причем часто по одной и той же методике,
называемой методикой
поверки,
но на этом их сходство заканчивается. Различия
между этими понятиями имеют
более принципиальный характер.

Во-первых,
в сферах распространения ГМКиН могут
применяться только поверенные СИ, а
калиброванные — не могут.

Во-вторых,
поверке могут подвергаться только СИ
утверж­денного типа, то есть внесенные
в Государственный реестр СИ, а калибровке
— любые, в том числе нестандартизованные
и изготовленные в од­ном экземпляре.

В-третьих,
при поверке проверяется соответствие
СИ своему типу, внесенному в Государственный
реестр, тогда как при калибровке
опреде­ляются действительные
метрологические характеристики, которые
прибор име­ет на момент калибровки.

Если
при поверке СИ обнаружено его несоответствие
хотя бы одному пункту утвержденного
типа, средство измерений должно быть
забраковано. При калибровке этому СИ
будут приписаны новые значения
метро­логических характеристик.

Положительные
результаты поверки удостоверяются
поверительным клеймом или свидетельством
о поверке. Если средство измерений по
результатам поверки признано непригодным
к применению, оттиск поверительного
клейма и свиде­тельство о поверке
аннулируются и выписывается извещение
о непригодности или делаются соответствующие
записи в технической документации.

Результаты
калибровки удостоверяются калибровочным
знаком (клеймом), наносимым на средство
измерений, или сертификатом о калибровке,
а также, записью в эксплуатационных
документах. В соответствии с законом
РК «Об обеспечении единства измерений»
калибровка средств измерений является
процедурой добровольной и осуществляемой
по желанию владельца прибора с це­лью,
например, получения достоверных
результатов измерений, влияющих, в
конечном счете, на результаты труда.
ГМКиН на такие средства измерений не
распространяется.

Расчёт ошибок косвенных измерений

Пусть искомая
величина А
при выбранном
методе косвенных измерений рассчитывается
по формуле:

A
= f(x₁
,x₂
,x₃
,…,x_n
) (12)

где x₁,x₂,…,x_n
— величины, найденные в результате прямых
измерений, с учётом ошибок о которых
шла речь выше. Из-за этих ошибок величина
«А»
так же будет определяться с ошибками.

Пусть X₁,X₂,…,X_N
— значения f(x₁
,x₂
,x₃
,…,x_n), вычисленные
для разных серий измерений (x₁,x₂,…,x_n).

Таблица 1

Таблица коэффициентов
Стьюдента

Абсолютной ошибкой
косвенных измерений, по аналогии с
аб­солютной ошибкой прямых измерений,
называют разность между ис­тинным
значением «А» и её значениями,
полученными в результате измерений:

(13)

Размерность
абсолютной ошибки совпадает с размерностью
определяемой величины. Относительной
ошибкой косвенных измерений называют
отвлечённое число:

(14)

Иногда относительную
ошибку выражают в процентах:

(15)

Для определения
величины «А» в формулах (12)…(15) по
теории

вероятностей
следует брать величину Х, которую можно
определить двумя способами:

1) А
= Х
= (Х₁
+ Х₂
+…+Х_n)/n
(16)

2) A
= X
= f(x₁
+ x₂
+…+x_n)
(17)

где x₁,
x₂
,…, x_n
определяют по формуле (3). Если ошибки
измерений малы, то оба способа дают
практически тождественные результаты.

Рассмотрим способы
нахождения ошибки величины А,
опреде­лённой из косвенных измерений,
по найденным значениям оши

бок прямых измерений.
Выше отмечалось, что возможны различные
соотношения между приборной систематической
и случайными ошибками.

1-й случай. Преобладают
приборные ошибки. В этом случае можно
дать только оценку максимальной ошибки.
Формулы для нахож­дения предельной
ошибки косвенных измерений по внешнему
виду совпадают с формулами дифференциального
исчисления. В связи с этим для предельной
абсолютной ошибки используется формула:

(18)

а для расчёта
предельной относительной ошибки пригодна
фор

— 19 —

мула:

(19)

Формулы для расчёта
предельных ошибок некоторых часто
встречающихся функций, когда приборные
ошибки превышают случайные, приведены
в Таблице 2. Эти выражения легко
рассчитываются по формулам (18) и (19).

2-й случай. Преобладают
случайные ошибки. Для определения
среднеквадратичной ошибки теория
вероятностей даёт следующую формулу:

(20)

Относительная
ошибка вычисляется по формуле:

(21)

При выполнении
промежуточных расчётов необходимо
помнить, что число точных цифр в результате
расчётов не может увеличиваться. Поэтому
промежуточные результаты округляют,
сохраняя

1…2 избыточных
знака. При этом последующие цифры,
меньшие

5,отбрасываются;если
первая из отбрасываемых цифр больше 5,

то последняя из
оставшихся цифр увеличивается на
единицу. Ес

ли первая
отбрасываемая цифра 5, то предыдущая
цифра остаётся

без изменений,
если она чётная, и увеличивается на
единицу, если

она нечётная.
Выражения для среднеквадратичной ошибки
некоторых часто встречающихся функций
приведены в Таблице 3. Для определения
ошибок косвенных измерений используют
большую из инструментальной или случайной
ошибок прямого измерения.

Ошибки измерений физических величин

По
способу выражения точности результатов
измерения различают абсолютную
и относительную
ошибки.

Абсолютной
ошибкой
измерения x
некоторой величины называют модуль
разности между измеренным значением x
и истинным значением a
измеряемой
величины:

x
= a
– x.
(1)

Абсолютная ошибка
имеет размерность измеряемой величины
и указывает на необходимую поправку в
данном результате измерения. При этом
она определяет неточность в измерении
величины вне зависимости от её значения.

Относительной
ошибкой
измерения 
называют отношение абсолютной ошибки
измерения к истинному значению измеряемой
величины:

 = x/a
. (2)

Относительная
ошибка безразмерна или иногда выражается
в процентах:

 = (x/a)100%
. (3)

Если абсолютная
ошибка определяет неточность в измерении
величины безотносительно к значению
самой величины, то относительная ошибка
даёт непосредственное представление
о точности проведённых измерений, так
как определяет, какую долю составляет
ошибка в полученном результате. Например,
абсолютная ошибка в 1 грамм (x
= 1 г) при измерении массы тела в 10 кг даёт
неточность всего 
= (10^-3/10)100%
= 0,01%, в то время как такая же абсолютная
ошибка в определении массы тела в 10
г даёт неточность уже 
= (10^-3/10^-2)100%
= 10%.

По характеру
проявления различают три вида ошибок:
грубые ошибки
(промахи), систематические ошибки и
случайные ошибки.

Промахи
– допущенные грубые ошибки, когда
некоторые измерения вдруг резко
выделяются из большого ряда полученных
измерений. Они могут возникать вследствие
недостатка внимания экспериментатора,
непредсказуемого поведения прибора
(внешние наводки, нестабильность
источника питания и т.д.) и множества
других причин, которые практически
невозможно учесть. Такие измерения
обычно просто отбрасываются, хотя, надо
сказать, существуют критерии, позволяющие
разобраться в том, является ли данное
измерение промахом или же естественным
случайным отклонением от среднего
значения, т.е. измерением, которое нельзя
отбрасывать (такие критерии разбираются
в приведённой в конце этих методических
указаний литературе). Обычно, всё же
даже неверный отброс случайного
измерения, как “промаха”, не приводит
к заметному изменению оценок неточностей
измеряемой величины.

Систематические
ошибки связаны
с факторами, действующими одинаково
при многократном повторении одних и
тех же измерений. Они возникают по
нескольким причинам. 1). Из-за погрешности
метода измерений, который может не
учитывать некоторых факторов, влияющих
на результат измерений. Например, это
– не учёт при измерениях длины тела её
зависимости от температуры, не принятие
во внимание “потери веса” тела в воздухе
из-за наличия выталкивающей силы и т.д.
Во многих случаях величину и знак такой
систематической ошибки можно установить
и ввести соответствующие поправки.
Поправка, разумеется, равна систематической
ошибке измерения, взятой с обратным
знаком. 2). Из-за неизвестных, непредполагаемых
свойств измеряемого объекта (например,
наличие в нём пустот, несимметричность
считающегося симметричным объекта и
т.д.). Эти ошибки исключаются только,
если провести измерения изучаемой
величины другим методом и в других
условиях эксперимента. 3). Из-за
индивидуальных погрешностей, допускаемых
в процессе измерений наблюдателем.
Например, наблюдатели по-разному
внимательны, обладают разной скоростью
реакции, а это приводит к систематическим
ошибкам при слежении за “уходом нуля”
приборов, при регистрации временных
интервалов секундомером и т.д. Устранить
индивидуальные систематические
погрешности можно только повторением
этих измерений другими наблюдателями.
4). Из-за ошибок, которые вносят погрешности
измерительных приборов. Погрешности
измерительных приборов будут подробно
разобраны в следующем разделе.

Случайные
погрешности определяются
сложной совокупностью причин. Они
обнаруживаются при всё большем числе
повторных измерений в виде некоторого
разброса результатов измерений, причём
невозможно предсказать результат
очередного измерения. Но это не означает,
что случайная ошибка не подчиняется
никаким закономерностям. Законы её
изменения носят статистический характер.
Далее отдельно будет дано математическое
обоснование определения этой ошибки.

Соседние файлы в папке физика_1

• #

  28.03.2016210.94 Кб2380.doc

• #

  28.03.2016169.47 Кб2182.doc

• #

  28.03.2016592.38 Кб2688.doc

• #

  28.03.2016163.33 Кб239.doc

• #
• #
• #
• #

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

1. Шкала измерительного прибора
2. Цена деления
3. Виды измерений
4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
5. Абсолютная погрешность серии измерений
6. Представление результатов эксперимента
7. Задачи

п.1. Шкала измерительного прибора

Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.

Примеры шкал различных приборов:

п.2. Цена деления

Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.

Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*}

п.3. Виды измерений

Вид измерений

Определение

Пример

Прямое измерение

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Косвенное измерение

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.

Составляющие погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$

Если величина (a_0) — это истинное значение, а (triangle a) — погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$

Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.

Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

• определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
• определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта	1	2	3	Сумма
Масса, г	99,8	101,2	100,3	301,3
Абсолютное отклонение, г	0,6	0,8	0,1	1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}

п.6. Представление результатов эксперимента

Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то

• абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$

• абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$

Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:

• относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$

• относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$

Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:

• относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности

$$ delta_{a^2}=2delta_a $$

• относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности

$$ delta_{a^3}=3delta_a $$

• относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна

$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки	a, мл	b, мл	n	(triangle=frac{b-a}{n+1}), мл
1	20	40	4	(frac{40-20}{4+1}=4)
2	100	200	4	(frac{200-100}{4+1}=20)
3	15	30	4	(frac{30-15}{4+1}=3)
4	200	400	4	(frac{400-200}{4+1}=40)

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки	Объем (V_0), мл	Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл	Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%})
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})

    При взвешивании трех проб допущена одна и та же абсолютная ошибка— 0,0002 г. Вычислить относительную ошибку, если истинная масса трех проб равна 0,6671, 0,0285 и 0,0100 г. [c.204]

    При правильном выполнении всех аналитических операций весового анализа ошибка опыта определяется точностью взвешивания. При одинаковой абсолютной ошибке взвешивания большая навеска неходкого вещества приводит к большей относительной точности результата анализа, выражаемой в процентах. [c.267]

    Пусть навеска растворенного вещества g равна 0,3 г абсолютная ошибка при взвешивании на аналитических весах составляет 0,0002 г масса растворителя о=20 г, вода (или другой растворитель) для растворения навески взвешивается на технических весах с точностью 0,05 г понижение температуры замерзания ( 0—1) растворителя обычно равно 0,2—0,4 °С. Для расчета примем (/ц—/)=0,3 °С. Точность отсчета температуры замерзания по термометру Бекмана равна 0,002 °С. Так как при определении величин , gf, и to—i) приходится производить два измерения, то погрешности при взвешивании и при измерении температуры [c.19]

    При нахождении суммы или разности квадраты абсолютных ошибок отдельных измерений складываются, давая квадрат абсолютной ошибки суммарного значения измерения. Для аналитических целей наиболее важным является нахождение разности, например, при взвешивании или при отсчете показаний по бюретке  [c.445]

    Последовательность выполнения работы. 1. Налить в стакан 20 мл воды и взвесить его на технических весах. Взвешивание произвести пять раз. 2. Вылить воду в сосуд для определения температуры замерзания и вновь взвесить пустой стакан пять раз. 3. Определить по термометру Бекмана температуру замерзания растворителя. Определение произвести пять раз. 4. Взвесить бюкс на технических весах, добавить в него примерно 0,2 г карбамида. Взвесить бюкс с карбамидом на аналитических весах. Взвешивание произвести пять раз. 5. Внести карбамид в сосуд для определения температуры замерзания. 6, Взвесить пустой бюкс на аналитических весах пять раз. 7. Определить температуру замерзания раствора пять раз. 8. Рассчитать относительные ошибки веса карбамида, воды и ЛТ замерзания раствора. 9. Рассчитать относительную и абсолютную ошибки при определении молекулярного веса карбамида. [c.461]

    Особенно часто в аналитической химии приходится иметь дело с разностями измеряемых величин (например, при взвешивании). Из уравнения (4.3а) следует, что при этом надо пользоваться абсолютной ошибкой. Она возрастает довольно слабо и не зависит от величины разности. Часто полученную разность подставляют в формулы, содержащие произведение или дробь (см., например, уравнение 4.10). В этом случае аналитик будет интересоваться относительной ошибкой разности (Тх -х / х1-Х2)- Она тем больше, чем меньше разность Xi X2, и становится очень большой, когда Xi и Х2 примерно равны. Поэтому следует по возможности избегать получения разности измеряемых величин, когда эти величины близки друг к другу. [c.65]

    Абсолютная ошибка имеет размерность измеряемой величины. Она далеко не полно характеризует качество измерения. Например, при взвешивании образца предельная абсолютная ошибка, равная ОД мг, может свидетельствовать как о высоком, таки о низком качестве взвешивания. Если взвешиваемый образец весит несколько десятков граммов, то величина ошибки 0,1 мг указывает на довольно высокую точность измерения. Эта же величина ошибки при массе в несколько миллиграммов указывает на малую точность измерения. Поэтому для оценки качества измерений необходимо сравнение измеряемой величины с величиной абсолютной ошибки. Отношение абсолютной ошибки к точному значению измеряемой величины называют относительной ошибкой [c.221]

    Поскольку в весе прокаленного осадка 0,0551 г предельная абсолютная ошибка 0,0002 г (неточность обычных взвешиваний на аналитических весах), что составляет 0,4% относительных, такая же предельная относительная ошибка будет и в конечном результате (правило 4, стр. 10), т. е. ответ будет 0,967+0,004%. Мы видим, что более трех знаков после запятой в ответе не должно быть, так как уже 3-й знак сомнителен. Учитывая, однако, что в ходе анализа, помимо неточности взвешивания, возможны еще другие источники ошибок, разумнее полученный результат округлить до 0,97%. [c.264]

    Эти технические ошибки можно дальше разделить на случайные и постоянные. Случайные ошибки, вызываемые самыми разнообразными причинами, как неверный отсчет показаний прибора, механические потери, ошибки от субъективного восприятия окрасок и т.п., отражаются на в осп р оиз води мости титрования, и, если было сделано достаточно число определений, то размеры этих ошибок можно обнаружить статистическими методами . Постоянные ошибки — это ошибки от неточной калибровки приборов и от других постоянно действующих причин они уменье шают абсолютную точность анализа и не влияют на его воспроизводимость. Все технические ошибки могут быть уменьшены усовершенствованием техники выполнения эксперимента. Если заменить, например, обыкновенные бюретки весовыми и если отбирать аликвотные части растворов по весу, а не по объему, то тогда ошибки от неточного отсчета показаний мерных приборов, от неверной их калибровки, от прилипания капель к стенке сосуда при стекании жидкости и т. д. заменятся гораздо меньшими ошибками взвешивания. Таким образом, можно добиться большей точности титрования за счет простоты и скорости. Даже субъективные ошибки при нахождении конечной точки титрования могут быть уменьшены применением фотометрических методов. [c.186]

    Таким образом, место нанесения сухого остатка и размеры пятна в значительной мере определяют результаты взвешивания (чувствительность и точность). С этой точки зрения более выгодно использовать резонаторы с более высоким /о для них не только возрастает абсолютная чувствительность (за счет величины fo), но и уменьшается ошибка взвешивания (за счет более пологого хода зонной характеристики). [c.50]

    Строго говоря, средние квадратичные погрешности применимы только при больших рядах измерений, однако ими пользуются и при малых рядах. Как же оценить точность отдельных измерений, производившихся только один раз Предположим, что вес живицы 50,6 г. Чтобы найти ошибку в этом весе, рассуждаем так. Если взвешивание произведено с точностью до 0,1 г, то неучтенными могут быть только сотые доли грамма. Наибольшая ошибка при таком взвешивании может быть только 0,05 г. Эта величина и будет абсолютной ошибкой веса живицы. Тогда вес запишут так 0 = 50,6+0,05 г. Относительная ошибка В — = 0,001 = 0,1 %. [c.14]

    Пример 5.8. Л ожно ли использовать метод отдельных навесок при титровании безводной соды 0,1 М раствором НС из полумикробюретки вместимостью 5 мл, обеспечив при этом относительную ошибку определения не более 0,3 %. Абсолютная погрешность взвешивания на аналитических весах составляет 0,2 мг. [c.61]

    Небольшие ошибки взвешивания мало влияют на точность определения AV. Не очень велико и влияние неточности определения абсолютной плотности p/t, P и рд + Поэтому компоненты А иВ вводятся в камеру денсиметра с помощью калиброванных газонепроницаемых шприцев. По-видимому, при незначительном увеличении объема камеры данный денсиметр пригоден для определения избыточных объемов смешения химически не реагирующих жидкостей, а также измерения изменений объема индуцируемых изменением температуры. [c.29]

    В аналитической химии особенно часто приходится иметь дело с разностью измеряемых величин (например, при взвешивании). Из уравнения (4.3а) следует, что при этом приходится пользоваться абсолютной ошибкой. Она увеличивается лишь незначительно и не зависит от величины разности. Часто полученную разность подставляют в формулы, содержашие произведение или частное от деления величин [ср. уравнение (4.4) ]. В этом случае аналитик будет интересоваться относительной ошибкой разности [c.65]

    Для взвешивания нескольких миллиграммов образца с ошибкой не более 1 % требуются микровесы. Измерительные колбы и пипетки должны быть предварительно прокалиброваны. Так как длина кювет обычно имеет абсолютную ошибку в пределах 0,05 мм, то необходимо прокалибровать кюветы длиной от 0,1 до 5 мм с помощью калибровочных кривых ДОВ и КД, снятых с использованием кюветы длиной 10 мм. Для измерений в кюветах длиной 0,1—1 мм желательно использовать высокочувствительный интервал измерений ДОВ и КД или исследовать раствор образца с более высокой концентрацией. [c.154]

    Анализ погрешности определения величины /7 показал, что она складывается из 4 составляющих абсолютной ошибки определения массы матрицы, емкости образца, взвешивания, относительной ошибки за счет флуктуации массы образца около равновесного значения. Первые [c.23]

    Это означает, что 1 мг 5102 в пробе соответствует более 40 мг осадка крем- немолибденовой соли, что обеспечивает относительную ошибку ( ) взвешивания 1 мг 5Юз не выше 0,5 %, если принять абсолютную погрешность взвешивания на аналитических весах примерно 0,2 мг. [c.26]

    Ошибка взвешивания, допускаемая при весовом определении сульфатов, зависит от концентрации и объема пробы анализируемого раствора (т. е, по существу от абсолютного количества навески). Например, при концентрации 50 , равной 20 мг/л, в 100 мл анализируемого раствора будет содержаться [c.36]

    Из таблицы видно, что максимальная абсолютная ошибка не превышает 0,0001 г, что соответствует точности взвешивания на обычных аналитических весах. Эта величина для навесок менее 0,02 г дает относительную ошибку [c.269]

    Результаты анализа различных соединений показывают, что при анализе без взвешивания при определении содержания серы в относительных величинах точность определения вполне удовлетворительна и ошибка опыта не превышает 10%. Большая ошибка была получена только для одного соединения — тиофена. При определении абсолютного содержания серы ошибка составляет +5%. Этот метод был успешно применен для определения серы в образцах нефти. [c.159]

    Абсолютно равноплечих весов, так же как вообще двух абсолютно одинаковых тел, не существует. Поэтому при взвешивании всегда допускают некоторую погрешность вследствие неравно-плечия весов. Обычно эта ошибка очень незначительна, но при точных работах недопустима. [c.53]

    Один из основных признаков систематической погрешности — то, что она постоянна во всех измерениях или меняется по постоянно действующему закону. Следует отметить, что абсолютные систематические погрешности делят на не зависящие и зависящие от содержания определяемого компонента, т. е. на постоянные (аддитивные) и пропорщю-нальные (мультипликативные). К постоянным погрешностям можно отнести, например, капельную и некоторые виды индикаторных ошибок в титриметрии, ошибку взвешивания в гравиметрии к пропорщюнальным — некоторые [c.38]

    Ошибку взвешивания можно установить цри обычной процедуре проведения весового анализа. Для обоих взвешиваний она одинакова и составляет = 0,0002 г [8]. Иэ уравнения (4.3а) получаем абсолютную ошибку разности ету = сГху/2 Я5 0,0003 г. Это ненамного больше, чем ошибка одного взвешивания. Относительная ошибка одного отдельного взвешивания составляет сГх/Х 0,000 03=0,003%. Разность у = X — Хо, например, напротив, оказывается связанной с заметно более высокой относительной ошибкой (Гу/у й 0,001 = 0,1%. Несмотря на высокую точность отдельных взвешиваний, разность можно определить только со сравнительно большой относительной ошибкой 0,1%. [c.65]

    Ошибку взвешивания можно установить при обычной процедуре проведения весового анализа. Для обоих взвешиваний она одинакова и составляет = 0,0002 г. Пз уравнения (4.3а) получают абсолютную ошибку разности 1/ 2 0,0003 г. Это непамного больше, чем ошибка одного взвешивания. Относительная [c.65]

    Для уточнения этой характеристики в различные точки плоскости электрода резонатора при помощи микропипетки наносили 0,5—1 мкл водного раствора Na l. Образовывалось пятно диаметром 1 мм, расстояние R) этого пятна от центра резонатора определяли с точностью 0,25—0,5 мм. Из полученных данных (рис. 8.2,6) можно было заключить, что зонная чувствительность резонатора зависит от собственной частоты колебаний резонатора у резонаторов с большим значением fo в центре алектрода имеется пологое плато с последующим резким спадом с уменьшением /о протяженность этого плато меняется, а для резонаторов с fo l МГц такое плато отсутствует. Поскольку наиболее чувствительным местом резонатора является его центральная часть, расположение сухого остатка и размеры пятна в значительной мере определяют результаты взвешивания (чувствительность и точность). Было установлено, что более выгодно использовать резонаторы с повышенными /о. Для них не только реализуется высокая абсолютная чувствительность (за счет fo), но и уменьшается ошибка взвешивания (за счет более пологого хода зонной характеристики). [c.261]

    Длина левого плеча коромысла 80,0000 мм. Насколько максимально может быть длиннее правое плечо, чтобы при взвешивании тела массой 5,0000 г абсолютная ошибка на неравноплечность не превышала 0,0002 г  [c.71]

    Выбор конструкции весов следует начинать с ограничения той задачи, которая ставится перед исследователем, т. е. следует, по возможности точно, определить максимальную и минимальную массы исследуемых образцов и требуемую абсолютную точность взвешивания. Кроме того, если в процессе исследования ожидается изменение массы, которое нужно будет фиксировать, то следует также оценить и эту вёличину. При этом не следует стремиться обеспечить слишком большой запас по максимальной нагрузке и чувствительности весов, так как любое, даже незначительное, расширение этих параметров, как правило, приводит к неоправданному усложнению весов и технике работы с ними. Кроме того, при работе н весах с очень большой чувствительностью возрастают влияния различных мешающих факторов, эффекты которых, регистрируемые весами, можно по ошибке отнести к изучаемому процессу, т. е. возникает опасность присоединения артефактов к исследуемому процессу, а следовательно, и получения неправильных выводов. Во многих исследованиях изменение массы изучается как функция какого-то другого параметра, например температуры, давления и т. д. Относительная точность этих измерений должна быть приведена к одинаковым величинам, т. е., если измерение одного из параметров производится с точностью до нескольких процентов, то и измерение второго параметра не должно иметь большую точность, так как разброс экспериментальных данных будет всегда определяться разбросом экспериментальных точек того параметра, который измерен с меньшей точностью. Например, в случае термогравиметрии изменение массы изучается как функция температуры, записываемой обычно на самопишущем приборе с ошибкой > 0,5%. При этом ббльшая точность измерения изменения массы теряет всякий смысл, и, следовательно, относительная чувствительность весов для этого случая должна составлять всего (0,5—0,2) -Ю , что соответствует очень примитивным и малочувствительным весам. [c.170]

    Результат анализа должен быть выражен с точностью до сотых долей процента (например, 19,84%), т. е. с допустимой ошибкой 0,01% абсолютных по отношению к содержанию 2п в 20% это составляет 0,05% относительных. Эту же точность должны дать взвешивания навески металла и прораленАого осадка ХпгРгО . При навеске 20 мг величина 0,05% составляет 0,01 мг тот же процент от массы прокаленного осадка (— 8 мг) еш е меньше, около 0,004 мг. Но микрохимические весы дают ошибку около 0,01 мг. Следовательно, в данном случае взвешивание даже на микрохимических весах не обеспечивает требуемой точности. [c.13]

    После химического или электрохимического травления необходимо тщательно промыть образцы в воде и спирте и зате.м поместить в эксикатор на 5—-10 час. И только после этого взвешивать. Точность взвешивания зависит от абсолютной величины потери в весе. Следует иметь в виду, что ошибки при удалении продуктов коррозии часто настолько велики, что отпадает необ- [c.25]

Практикум по общей химии Издание 3 (1957) — [

c.15

]

Практикум по общей химии Издание 4 (1960) — [

c.15

]

Практикум по общей химии Издание 5 (1964) — [

c.15

]

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.

ИЗМЕРЕНИЕ МАССЫ ТЕЛА НА РЫЧАЖНЫХ ВЕСАХ.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:                            — Научиться пользоваться рычажными весами и с их

                                                              помощью определить массу тела.

                                                            — Оценить погрешность данного измерения.

ПРИБОРА И МАТЕРИАЛЫ:     — Весы с разновесом

    — Тело, массу которого необходимо определить.

ХОД РАБОТЫ.

Изучите правила взвешивания при помощи рычажных весов по учебнику.

   1. Уравновесим весы.

   2. Придерживаясь правил взвешивания, измерим массу твердого тела.

mизм. = … + … +                      + … = …г (При определении массы, обязательно запишите массы всех гирек, которые уравновесили тело. Это понадобиться нам при дальнейших расчетах).

   3. Определим абсолютную погрешность данного измерения.

Наиболее сложным случаем определения погрешности является определение погрешности измерения массы тела при работе с рычажными весами.

m = весов + всех гирь  + подбора гирь  , где m – абсолютная погрешность при взвешивании.

   а).   весов – абсолютная погрешность весов, определяется чувствительностью весов и зависит от нагрузки. Её определяют по графику.

                  m,мг

                      200

                      150

                      100

                      50

                           0  10        50          100         150         200     m,г

                               График зависимости погрешности весов

                                                         от их нагрузки.

mвесов = … г (Определите погрешность весов по графику и запишите её.)

   б).   всех гирь – это сумма абсолютных погрешностей каждой гирьки, которая использовалась при взвешивании. Эти данные вы возьмёте из таблицы.

                                                                                                Таблица зависимости погрешности гирь от их массы.

mвсех гирь = … г     (Определите погрешность всех гирь, пользуясь таблицей.)

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Если, предположим, тело имеет массу 20г, и мы воспользуемся гирями: 10г и 10г, то абсолютная погрешность всех гирь будет равна – 12мг + 12мг = 24мг.

А если одной гирькой 20г, то абсолютная погрешность будет равна – 20мг.

КАК ВЫ ДУМАЕТЕ, как предпочтительнее поступить?

   в).   mподбора  гирь – абсолютная погрешность подбора гирь, не превосходит половины минимальной массы гири, выводящей весы из равновесия. В нашем подборе гирь самая маленькая гирька имеет массу 100мг (0,1г).

mподбора гирь = 0.1г / 2 = 0,05г

m = … + … + 0,05г = …г (Подставьте численные значения в формулу для определения абсолютной погрешности при взвешивании. Округлите полученный результат до десятых.

ОБРАТИТЕ ВНИМНИЕ! Второе слагаемое мало по сравнению с остальными, поэтому в дальнейшем им можно будет пренебрегать. (Это соответствует закону сложения погрешностей.)

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ:

1. Научились ли Вы пользоваться рычажными весами и с их помощью определить массу тела?

1. Запишите, чему равна масса тела с учетом абсолютной погрешности с точностью до десятых.

m = ( …  …)г

Что эта запись означает?

2. Какие меры предосторожности необходимо выполнять при работе с рычажными весами и разновесом?

3. Почему определение погрешности при взвешивании оказалось таким сложным?

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.

• 1.Определите, чему равна относительная погрешность данного измерения. Что Вы можете сказать о точности этих весов?