Автокорреляция ошибок модели

Важной предпосылкой
построения качественной регрессионной
модели по МНК является независимость
значений случайных отклонений
от значений отклонений во всех других
наблюдениях. Отсутствие зависимости
гарантирует отсутствие коррелированности
между любыми отклонениями, т.е.и, в частности, между соседними отклонениями.

Автокорреляция
(последовательная
корреляция)
остатков
определяется как корреляция между
соседними значениями случайных отклонений
во времени (временные ряды) или в
пространстве (перекрестные данные). Она
обычно встречается во временных рядах
и очень редко – в пространственных
данных.

Возможны следующие
случаи:

Случай положительной
автокорреляции
ошибок регрессии, когда знаки соседних
отклонений, как правило, совпадают
между собой ().

Случай отрицательной
автокорреляции,
когда соседние отклонения имеют как
правило противоположные знаки ().

Эти случаи могут
свидетельствовать о возможности улучшить
уравнение путём оценивания
новой нелинейной формулы или включения
новой объясняющей переменной.

В экономических
задачах значительно чаще встречается
положительная автокорреляция, чем
отрицательная автокорреляция.

Если же характер
отклонений случаен,
то можно предположить, что в половине
случаев знаки соседних отклонений
совпадают, а в половине – различны.

Автокорреляция
в остатках может быть вызвана несколькими
причинами, имеющими различную природу.

Она может быть
связана с исходными данными и вызвана
наличием ошибок измерения в значениях
результативного признака.
В ряде случаев
автокорреляция может быть следствием
неправильной спецификации
модели. Модель может не включать фактор,
который оказывает существенное
воздействие на результат и влияние
которого отражается в остатках,
вследствие чего последние могут
оказаться автокоррелированными. Очень
часто этим фактором является фактор
времени
.

От истинной
автокорреляции остатков следует отличать
ситуации, когда причина автокорреляции
заключается в неправильной спецификации
функциональной формы модели. В этом
случае следует изменить форму модели,
а не использовать специальные методы
расчета параметров уравнения регрессии
при наличии автокорреляции в остатках.

Для обнаружения
автокорреляции используют либо
графический метод. Либо статистические
тесты.

Графический
метод
заключается в построении графика
зависимости ошибок от времени (в случае
временных рядов) или от объясняющих
переменных и визуальном определении
наличия или отсутствия автокорреляции.

Наиболее известный
критерий обнаружения автокорреляции
первого порядка – критерий Дарбина-Уотсона.
Статистика DW
Дарбина-Уотсона приводится во всех
специальных компьютерных программах
как одна из важнейших характеристик
качества регрессионной модели.

Сначала
по построенному эмпирическому уравнению
регрессии определяются значения
отклонений
.
А затем рассчитывается статистика
Дарбина-Уотсона по формуле:

Статистика DW
изменяется от 0 до 4. DW=0
соответствует положительной
автокорреляции, при отрицательной
автокорреляции
DW=4.
Когда автокорреляция
отсутствует,
коэффициент автокорреляции равен нулю,
и статистика DW
= 2.

Алгоритм выявления
автокорреляции остатков на основе
критерия Дарбина-Уотсона следующий.

Выдвигается
гипотеза
об отсутствии
автокорреляции остатков.
Альтернативные гипотезы
исостоят, соответственно, в наличии
положительной или отрицательной
автокорреляции в остатках. Далее по
специальным таблицам определяются
критические значения критерия
Дарбина-Уотсона(-
нижняя граница признания положительной
автокорреляции) и(-верхняя
граница признания отсутствия положительной
автокорреляции) для заданного числа
наблюдений,
числа независимых переменных моделии уровня значимости.
По этим значениям числовой промежутокразбивают на пять отрезков. Принятие
или отклонение каждой из гипотез с
вероятностьюосуществляется следующим образом:

–
положительная автокорреляция, принимается
;

–
зона неопределенности;

–
автокорреляция отсутствует;

–
зона неопределенности;

–
отрицательная автокорреляция, принимается
.

Если фактическое
значение критерия Дарбина-Уотсона
попадает в зону неопределенности,
то на практике предполагают существование
автокорреляции остатков и отклоняют
гипотезу
.

Можно показать,
что статистика DW
тесно связана с коэффициентом
автокорреляции первого порядка:

Связь выражается
формулой: .

Значения r
изменяются от –1 (в случае отрицательной
автокорреляции) до +1 (в случае положительной
автокорреляции). Близость r
к нулю
свидетельствует об отсутствии
автокорреляции.

При отсутствии
таблиц критических значений DW
можно использовать следующее «грубое»
правило: при достаточном числе наблюдений
(12-15), при 1-3 объясняющих переменных, если
,
то отклонения от линии регрессии можно
считать взаимно независимыми.

Либо
применить к данным уменьшающее
автокорреляцию преобразование (например
автокорреляционное преобразование или
метод скользящих средних).

Существует несколько
ограничений на применение критерия
Дарбина-Уотсона.

Критерий
DW
применяется лишь для тех моделей,
которые содержат свободный член.
Предполагается,
что случайные отклонения определяются
по итерационной схеме

называемой
авторегрессионной
схемой первого порядка
AR(1).
Здесь
– случайный член.

Статистические
данные должны иметь одинаковую
периодичность (не должно быть пропусков
в наблюдениях).
Критерий Дарбина
– Уотсона не применим к авторегрессионным
моделям, которые содержат в числе
факторов также зависимую переменную
с временным лагом (запаздыванием) в
один период.

Для авторегрессионных
моделей предлагается h
– статистика Дарбина

где
– оценка коэффициента автокорреляции
первого порядка,D(c)
– выборочная дисперсия коэффициента
при лаговой переменной y_t_-1,
n
– число наблюдений.

Обычно значение
рассчитывается по формуле,
аD(c)
равна квадрату стандартной ошибки S_c
оценки коэффициента с.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Одной из причин автокорреляции ошибок регрессии является наличие скрытых регрессоров, влияние которых в результате проявляется через случайный член. Выявление этих скрытых регрессоров часто позволяет получить регрессионную модель без автокорреляции. [c.178]

Очевидно, что несостоятельность оценки (8.20) тем больше, чем сильнее автокорреляция ошибок е. На практике, однако, часто выполняется условие р у. В этом случае предел оценки наименьших квадратов будет близок к истинному значению параметра, хотя и не равен ему. [c.202]

Автокорреляция ошибок в моделях со стохастическими регрессорами [c.212]

При справедливости гипотезы р = 0 распределение статистики h при увеличении объема выборки стремится к нормальному с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Таким образом, гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок отвергается, если наблюдаемое значение статистики h окажется больше, чем критическое значение стандартного нормального распределения. [c.214]

Подставляя эти значения в (8.56), получаем Л = 2,64. Так как это значение больше критического /70,о5 = 1,96, определяемого для нормального закона, гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок отвергается, имеет место авторегрессия ошибок первого порядка (еще раз заметим, что для рассматриваемой модели этот вывод был априорно очевиден). [c.214]

В моделях временных рядов неверная спецификация может служить причиной автокорреляции ошибок регрессии. [c.252]

Учебник содержит систематическое изложение основ эконометрики и написан на основе лекций, которые авторы в течение ряда лет читали в Российской экономической школе и Высшей школе экономики. Подробно изучаются линейные регрессионные модели (метод наименьших квадратов, проверка гипотез, гетероскедастичность, автокорреляция ошибок, спецификация модели). Отдельные главы посвящены системам одновременных уравнении, методу максимального правдоподобия в моделях регрессии, моделям с дискретными и ограниченными зависимыми переменными. [c.2]

Итак, предыдущие аргументы показывают, что уравнение с авторегрессионными членами может быть оценено при помощи МНК. Существенными тут являются два условия. 1) Устойчивость. Для уравнения (11.11) это означает /3 < 1, лучше, если значения параметров будут отстоять на некоторое расстояние от границы критической области. 2) Отсутствует автокорреляция ошибок et. [c.269]

Авторегрессионная модель при наличии автокорреляции ошибок [c.270]

Усложним модель (11.11), добавив в нее автокорреляцию ошибок [c.270]

Таким образом, МНК-оценка коэффициентов регрессии оказывается несостоятельной в моделях с авторегрессионными членами и автокорреляцией ошибок. Можно показать, что оценка р, полученная из остатков МНК, также не является состоятельной [c.270]

Из предыдущего следует, что, перед тем как оценивать модель с авторегрессионными членами, необходимо проверить наличие автокорреляции ошибок. [c.271]

Тест па автокорреляцию ошибок [c.271]

Заметим, что полученное уравнение совпадает с моделью геометрических лагов (11.8) и может быть преобразовано к виду (11.9), который является частным случаем модели (11.23), если в последнем положить / з = 0 и ввести автокорреляцию ошибок. [c.274]

Гетероскедастичность и автокорреляция ошибок [c.85]
Оно лежит в интервале от 0 до 4, в случае отсутствия автокорреляции ошибок приблизительно равно 2, при положительной автокорреляции смещается в меньшую сторону, при отрицательной — в большую сторону. [c.29]

Доказать, что в случае автокорреляции ошибок 1-го порядка матрица ковариации ошибок по наблюдениям и матрица авторегрессионного преобразования имеют указанную форму. [c.31]

Отсутствие автокорреляции ошибок, т. е. значения ошибок различных наблюдений независимы друг от друга. [c.13]

Недостатки метода наименьших квадратов (МНК). Использование процедуры оценки, основанной на методе наименьших квадратов, предполагает обязательное удовлетворение целого ряда предпосылок, невыполнение которых может привести к значительным ошибкам 1. Случайные ошибки имеют нулевую среднюю, конечные дисперсии и ковариации 2. Каждое измерение случайной ошибки характеризуется нулевым средним, не зависящим от значений наблюдаемых переменных 3. Дисперсии каждой случайной ошибки одинаковы, их величины независимы от значений наблюдаемых переменных (гомоскедастичность) 4. Отсутствие автокорреляции ошибок, т. е. значения ошибок различных наблюдений независимы друг от друга 5. Нормальность. Случайные ошибки имеют нормальное распределение 6. Значения эндогенной переменной х свободны от ошибок измерения и имеют конечные средние значения и дисперсии. [c.68]

Таким образом, коррелированность регрессоров и ошибок регрессии оказывается значительно более неприятным обстоятельством, чем, например, гетероскедастичность или автокорреляция. Неадекватными оказываются не только результаты тестирования гипотез, но и сами оценочные значения параметров. [c.194]

Обратим внимание на то, что хотя с помощью обратного преобразования Койка устранена коррелированность регрессо-ров с ошибками, но автокорреляция ошибок приобретает сложную структуру, и устранение ее может оказаться практически невозможным. Так что хотя получаемые таким образом оценки оказываются состоятельными, они обладают всеми теми недостатками, о которых подробно говорилось в гл.7. [c.204]

Можно показать, что в этом случае значение статистики Дарбина—Уотсона будет часто попадать в область принятия гипотезы об отсутствии автокорреляции и в том случае, если на самом деле эта гипотеза неверна. Это обстоятельство и делает тест Дарбина—Уотсона неприменимым и обусловливает необходимость других инструментов для обнаружения автокорреляции ошибок регрессии в моделях со стохастическими регрессорами. [c.213]

В модели с распределенными лагами ADL (0,1) (заметим, что все рассматриваемые нами модели относились именно к этому типу) для выявления автокорреляции ошибок можно применять Н-тест Дарбина. Рассмотрим модель [c.213]

Существенно отличающееся от двух значение статистики d Дарбина—Уотсона указывает на то, что имеется положительная автокорреляция ошибок регрессии. Одна из возможностей — попробовать идентифицировать ряд остатков как ряд модели ARMA(p, q). При этом самая простая модель AR(l) оказывается вполне адекватной [c.253]

Как видно, значение статистики d Дарбина— Уотсона очень близко к двум, так что в новой модели проблема автокорреляции ошибок регрессии отсутствует. Отсюда следует, что ее причина была в неверной спецификации модели. Стоит также обратить внимание, что коэффициент регрессии при xt уменьшился вдвое — на товары роскоши, подобные дорогому отдыху, расходы рассредоточиваются по нескольким ближайшим годам. [c.254]

Условие E( t s) = 0, t s указывает на некоррелированность ошибок для разных наблюдений. Это условие часто нарушается в случае, когда наши данные являются временными рядами. В случае, когда это условие не выполняется, говорят об автокорреляции ошибок (serial orrelation). [c.40]

Для простейшего случая автокорреляции ошибок, когда E(etet+i) = р 0, типичный вид данных представлен на рис. 2.За (р>0) и рис. 2.36 (р<0). [c.40]

Переменная ж является экзогенной, yt-i коррелирована с xt i, поэтому xt i можно взять в качестве инструмента для yt-i- Оценка, полученная по методу инструментальных переменных, будет состоятельной. Однако вследствие автокорреляции ошибок оценки дисперсий оценок коэффициентов не будут состоятельными. [c.271]

Если порядок процесса AR(p) заранее неизвестен, то рекомендуется включать возможно большее количество лагов, чтобы устранить возможную автокорреляцию ошибок. Дело в том, что в ADF тесте предполагается, что ошибки являются белым шумом и критические значения, указанные в таблице 11.1, справедливы только при этом условии. Однако включение чрезмерного количества лагов снижает мощность теста. Чтобы определить количество лагов, которое надо включить в уравнение, можно использовать критерии выбора порядка ARMA модели, описанные ниже, или статистическую значимость дополнительной лаговой переменной. Заметим, что тест Дики-Фуллера включен во все современные эконометрйческие пакеты. [c.281]

В изучении корреляции признаков, не связанных согласованным изменением во времени, каждый признак изменяется под влиянием многих причин, принимаемых за случайные. В рядах динамики к ним прибавляется изменение во времпш каждого ряда. Это изменение приводит к так называемой автокорреляции — влиянию изменений уровней предыдущих рядов на последующие. Поэтому корреляция между уровнями динамических рядов правильно показывает тесноту связи между явлениями, отражаемыми в рядах динамики, лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция. Кроме того, автокорреляция приводит к искажению величины среднеквадратических ошибок коэффициентов регрессии, что затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, а также проверки их значимости. [c.70]

Источник

9.1.Суть и причины автокорреляции

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений εi от значений отклонений во всех других наблюдениях (см. параграф 5.1). Отсутствие зависимости гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями (σ(εi, εj) = cov(εi, εj) = 0 при i ≠ j) и, в частности, между соседними отклонениями (σ(εi−1, εi) = 0), i = 2, 3, …, n.

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. При использовании перекрестных данных наличие автокорреляции (пространственной корреляции) крайне редко. В силу этого в дальнейших выкладках вместо символа i порядкового номера наблюдения будем использовать символ t, отражающий момент наблюдения. Объем выборки при этом будем обозначать символом T вместо n. В экономических задачах значительно чаще встречается так называемая

положительная автокорреляция (σ(εt−1, εt) > 0), нежели отрицательная автокорреляция (σ(εt−1, εt) < 0).

Чаще всего положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых не учтенных в модели факторов. Суть автокорреляции поясним следующим примером. Пусть исследуется спрос Y на прохладительные напитки от дохода Х по ежемесячным данным. Трендовая зависимость, отражающая увеличение спроса с ростом дохода, может быть представлена линейной функцией Y= β0 + β1X, изображенной на рис. 9.1.

Лето

Зима

Рис. 9.1

227

Однако фактические точки наблюдений обычно будут превышать трендовую линию в летние периоды и будут ниже ее в зимние.

Аналогичная картина может иметь место в макроэкономическом анализе с учетом циклов деловой активности.

Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением имеет место отрицательное и наоборот. Возможная схема рассеивания точек в этом случае представлена на

рис. 9.2.

X Рис. 9.2

Такая ситуация может иметь место, например, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима − лето).

Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.

Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может привести к автокорреляции.

Проиллюстрируем это следующим примером. Анализируется зависимость предельных издержек МС от объема выпуска Q. Если для ее описания вместо реальной квадратичной модели MC = β0 + β1Q + + β2Q2 + ε выбрать линейную модель MC = β0 + β1Q + ε, то совершается ошибка спецификации. Ее можно рассматривать как неправильный выбор формы модели или как отбрасывание значимой переменной при линеаризации указанных моделей. Последствия данной ошибки выразятся в системном отклонении точек наблюдений от прямой регрессии (рис. 9.3) и существенном преобладании последовательных отклонений одинакового знака над соседними отклонениями противоположных знаков. Налицо типичная картина, характерная для положительной автокорреляции.

228

MC = β0 + β1Q

Рис. 9.3

Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица, ВНП и т. п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т. д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансформация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

Эффект паутины. Во многих сферах экономики экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошлом году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а следовательно, цена на нее снизится и т. д. В этой ситуации нельзя предполагать случайность отклонений друг от друга.

Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что, в свою очередь, может послужить причиной автокорреляции.

229

9.2. Последствия автокорреляции

Последствия автокорреляции в определенной степени сходны с последствиями гетероскедастичности. Среди них при применении МНК обычно выделяются следующие.

1.Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными. Следовательно, они перестают обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок

(BLUE-оценок).

2.Дисперсии оценок являются смещенными. Зачастую дисперсии, вычисляемые по стандартным формулам, являются заниженными, что приводит к увеличению t-статистик. Это может привести к признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые в действительности таковыми могут и не являться.

3. Оценка дисперсии регрессии S	2	= ∑	e2t	является смещенной
	n − m −1

оценкой истинного значения σ2 , во многих случаях занижая его.

4. В силу вышесказанного выводы по t- и F-статистикам, определяющим значимость коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными. Вследствие этого ухудшаются прогнозные качества модели.

9.3.Обнаружение автокорреляции

Всилу неизвестности значений параметров уравнения регрессии

неизвестными будут также и истинные значения отклонений εt. Поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оце-

нок еt, полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.

9.3.1. Графический метод

Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них, увязывающий отклонения еt с моментами t их получения (их порядковыми номерами i), приведен на рис. 9.4. Это так называемые последовательно-временные графики. В этом случае по оси абсцисс обычно откладываются либо момент получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат отклонения εt (либо оценки отклонений еt).

Естественно предположить, что на рис. 9.4, а − г имеются определенные связи между отклонениями, т. е. автокорреляция имеет ме-

230

сто. Отсутствие зависимости на рис. 9.4, д, скорее всего, свидетельствует об отсутствии автокорреляции.


			t(i)		t(i)

	t(i)
а		б		в


εt, et		εt, et

Рис. 9.4

Например, на рис. 9.4, б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеет место положительная автокорреляция остатков. Она становится весьма наглядной, если график 9.4, б дополнить графиком зависимости еt от еt−1 , который в этом случае ориентировочно будет выглядеть так.

еt

еt−1

Рис. 9.5

231

Подавляющее большинство точек на этом графике расположено в I и III четвертях декартовой системы координат, подтверждая положительную зависимость между соседними отклонениями.

Следует сказать, что в современных эконометрических пакетах аналитическое выражение регрессии дополняется графическим представлением результатов. На график реальных колебаний зависимой переменной накладывается график колебаний переменной по уравнению регрессии. Сопоставив эти два графика, можно выдвинуть гипотезу о наличии автокорреляции остатков. Если эти графики пересекаются редко, то можно предположить наличие положительной автокорреляции остатков.

9.3.2. Метод рядов

Этот метод достаточно прост: последовательно определяются знаки отклонений et. Например,

(− − − − −)(+ + + + + + +)(− − −)(+ + + +)(−), т. е. 5 “−“, 7 “+”, 3 “−”, 4 “+”, 1 “−” при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.

Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция. Для более детального анализа предлагается следующая процедура. Пусть

n − объем выборки;

n1 − общее количество знаков “+” при n наблюдениях (количество положительных отклонений et);

n2 − общее количество знаков “−” при n наблюдениях (количество отрицательных отклонений et);

k − количество рядов.

При достаточно большом количестве наблюдений (n1 > 10, n2 > 10) и отсутствии автокорреляции СВ k имеет асимптотически нормальное распределение с

M(k) =	2n1n2	+ 1;	D(k) =	2n1n2 (2n1n2 − n1 − n2 )	.

	n1 + n2		(n1 + n2 )2 (n1 + n2 − 1)

Тогда, если M(k) − uα/2 D(k) < k < M(k) + uα/2 D(k), то гипотеза об от-

сутствии автокорреляции не отклоняется.

232

При небольшом числе наблюдений (n1 < 20, n2 < 20) Свед и Эйзенхарт разработали таблицы критических значений количества рядов при n наблюдениях (приложение 7). Суть таблиц в следующем.

На пересечении строки n1 и столбца n2 определяются нижнее k1 и верхнее k2 значения при уровне значимости α = 0.05.

Если k1 < k < k2 , то говорят об отсутствии автокорреляции.

Если k ≤ k1, то говорят о положительной автокорреляции остат-

ков.

Если k ≥ k2 , то говорят об отрицательной автокорреляция остат-

ков.

В нашем примере n = 20, n1 = 11, n2 = 9, k = 5. По таблицам (приложение 7) определяем k1 = 6, k2 = 16. Поскольку k = 5 < 6 = k1 , то принимается предположение о наличии положительной автокорреляции при уровне значимости α = 0.05.

9.3.3. Критерий Дарбина–Уотсона

Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина–Уотсона. Статистика DW Дарбина–Уотсона приводится во всех эконометрических пакетах как важнейшая характеристика качества регрессионной модели. Метод определения автокорреляции на основе статистики DW подробно рассмотрен в параграфе 6.7. Суть его состоит в вычислении статистики DW Дарбина–Уотсона и на основе ее величины − осуществлении выводов об автокорреляции.

	T	− et −1)2
	∑( et
DW =	t=2		.	(9.1)
T
	∑e2t
	t=1

Согласно формуле (6.46) статистика Дарбина–Уотсона тесно связана с выборочным коэффициентом корреляции retet−1 :

DW ≈ 2(1 − ret et−1 ).

(9.2)

Таким образом, 0 ≤ DW ≤ 4 и его значения могут указать на наличие либо отсутствие автокорреляции. Действительно, если ret et−1 ≈ 0

(автокорреляция отсутствует), то DW ≈ 2. Если	ret et−1 ≈ 1 (положи-
тельная автокорреляция), то DW ≈ 0. Если ret et−1	≈ −1 (отрицательная
автокорреляция), то DW ≈ 4.
233

Для более точного определения, какое значение DW свидетельствует об отсутствии автокорреляции, а какое об ее наличии, была построена таблица критических точек распределения Дарбина–Уотсона. По ней для заданного уровня значимости α, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m определяются два значения: dl − нижняя граница и du − верхняя граница.

Общая схема критерия Дарбина–Уотсона будет следующей:

1. По построенному эмпирическому уравнению регрессии

yt = b0 + b1xt1 + … + bm xtm определяются значения отклонений еt = уt − yt для каждого наблюдения t, t = 1, 2, …, T.

2.По формуле (9.1) рассчитывается статистика DW.

3.По таблице критических точек Дарбина–Уотсона определяются

два числа dl и du и осуществляют выводы по следующей схеме: 0 ≤ DW < dl − существует положительная автокорреляция,

dl ≤ DW < du − вывод о наличии автокорреляции не определен, du ≤ DW < 4 − du − автокорреляция отсутствует,

4 − du ≤ DW < 4 − dl − вывод о наличии автокорреляции не определен, 4 − dl ≤ DW ≤ 4 − существует отрицательная автокорреляция.

Отметим, что при использовании критерия Дарбина–Уотсона необходимо учитывать следующие ограничения.

1.Критерий DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.

2.Предполагается, что случайные отклонения εt определяются по следующей итерационной схеме εt = ρεt−1 + vt, называемой авторегрессионной схемой первого порядка AR(1). Здесь vt − случайный член.

3.Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (т. е. не должно быть пропусков в наблюдениях).

4.Критерий Дарбина–Уотсона не применим для регрессионных моделей, содержащих в составе объясняющих переменных зависимую переменную с временным лагом в один период, т. е. для так назы-

ваемых авторегрессионных моделей вида:

yt = β0 + β1xt1 + … + βmxtm + γYt−1 + εt.

(9.3)

Причину четвертого ограничения поясним следующим примером. Пусть уравнение регрессии имеет вид:

yt = β0 + β1xt + γyt−1 + εt .

(9.4)

234

Пусть случайное отклонение εt подвержено воздействию авторегрессии первого порядка:

Тогда уравнение регрессии (9.4) можно представить в следующем виде:

yt = β0 + β1xt + γyt−1 +ρεt−1 + vt.

(9.6)

Но yt−1 зависит от εt−1, т. к. если (9.4) верно для t, то оно верно и для t − 1. Следовательно, имеется систематическая связь между одной из объясняющих переменных и одним из компонентов случайного члена. То есть не выполняется одна из основных предпосылок МНК (предпосылка 40) − объясняющие переменные не должны быть случайными (т. е. не иметь случайной составляющей). Значение любой объясняющей переменной должно быть экзогенным, полностью определенным. В противном случае оценки будут смещенными даже при больших объемах выборок.

Для авторегрессионных моделей разработаны специальные тесты обнаружения автокорреляции, в частности h-статистика Дарбина, которая определяется по формуле

)	n
h = с	1− nD(g)	,	(9.7)

где с − оценка ρ автокорреляции первого порядка (9.5), D(g) − выбо-

рочная дисперсия коэффициента при лаговой переменной yt−1 , n − число наблюдений.

При большом объеме выборки n и справедливости нулевой гипотезы H0: ρ = 0 статистика h имеет стандартизированное нормальное распределение (h N(0, 1)). Поэтому по заданному уровню значимости α определяется критическая точка uα/2 из условия Ф(uα/2) = (1 − α) / 2 и сравнивается h с uα/2. Если h > uα/2 , то нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции должна быть отклонена. В противном случае она не отклоняется.

Отметим, что обычно значение с рассчитывается по формуле

с = 1 − 0.5 DW, а D(g) равна квадрату стандартной ошибки Sg оценки g

коэффициента γ. Поэтому h легко вычисляется на основе данных оцененной регрессии.

Основная проблема с использованием этого теста заключается в невозможности вычисления h при n D(g) > 1.

235

9.4. Методы устранения автокорреляции

Основной причиной наличия случайного члена в модели являются несовершенные знания о причинах и взаимосвязях, определяющих то или иное значение зависимой переменной. Поэтому свойства случайных отклонений, в том числе и автокорреляция, в первую очередь зависят от выбора формулы зависимости и состава объясняющих переменных. Так как автокорреляция чаще всего вызывается неправильной спецификацией модели, то для ее устранения необходимо, прежде всего, попытаться скорректировать саму модель. Возможно, автокорреляция вызвана отсутствием в модели некоторой важной объясняющей переменной. Необходимо попытаться определить данный фактор и учесть его в уравнении регрессии (см. пример из параграфа 6.7). Также можно попробовать изменить формулу зависимости (например, линейную на лог-линейную, линейную на гиперболическую и т. д.). Однако если все разумные процедуры изменения спецификации модели, на ваш взгляд, исчерпаны, а автокорреляция имеет место, то можно предположить, что она обусловлена какими-то внутренними свойствами ряда {et}. В этом случае можно воспользоваться авторегрессионным преобразованием. В линейной регрессионной модели либо в моделях, сводящихся к линейной, наиболее целесообразным и про-

стым преобразованием является авторегрессионная схема первого по-

рядка AR(1).

Для простоты изложения AR(1) рассмотрим модель парной линейной регрессии

Y = β0 + β1X + ε.	(9.8)
Тогда наблюдениям t и (t−1) соответствуют формулы
yt = β0 + β1xt + εt ,	(9.9)
yt−1 = β0 + β1xt−1 + εt−1.	(9.10)

Пусть случайные отклонения подвержены воздействию авторегрессии первого порядка (9.5):

εt = ρεt−1 + υt,

где υt , t = 2, 3, … , T − случайные отклонения, удовлетворяющие всем предпосылкам МНК, а коэффициент ρ известен.

Вычтем из (9.9) соотношение (9.10), умноженное на ρ:

yt − ρyt−1 = β0(1 − ρ) + β1(xt − ρxt−1) + (εt − ρεt−1).

(9.11)

236

Положив yt* = yt − ρyt−1, xt* = xt − ρxt−1, β0* = β0(1 − ρ) и с учетом

(9.5), получим:

yt* = β0* + β1xt* + υt.

(9.12)

Так как по предположению коэффициент ρ известен, то очевидно, yt*, xt*, υt вычисляются достаточно просто. В силу того, что случайные отклонения υt удовлетворяют предпосылкам МНК, то оценки β0* и β1 будут обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок.

Однако способ вычисления yt*, xt* приводит к потере первого наблюдения (если мы не обладаем предшествующим ему наблюдением). Число степеней свободы уменьшится на единицу, что при больших выборках не так существенно, но при малых выборках может привести к потере эффективности. Эта проблема обычно преодолевается с помощью поправки Прайса–Винстена:

x1 = 1− с2 x1,

(9.13)

y1 = 1− с2 y1.

Отметим, что авторегрессионное преобразование может быть обобщено на произвольное число объясняющих переменных, т. е. использовано для уравнения множественной регрессии.

Авторегрессионное преобразование первого порядка AR(1) может быть обобщено на преобразования более высоких порядков

AR(2), AR(3) и т. д.:

εt = ρ1εt−1 + ρ2 εt−2 + υt ,

(9.14)

εt = ρ1εt−1 + ρ2 εt−2 + ρ3 εt−3 + υt.

Однако на практике значение коэффициента ρ обычно неизвестно и его необходимо оценивать. Существует несколько методов оценивания. Приведем наиболее употребляемые.

9.4.1. Определение ρ на основе статистики Дарбина–Уотсона

Напомним, что статистика Дарбина–Уотсона тесно связана с коэффициентом корреляции между соседними отклонениями через соотношение (9.2):

DW ≈ 2(1 − ret et−1 ).

Тогда в качестве оценки коэффициента ρ может быть взят коэффициент r = ret et−1 . Из (9.2) имеем:

237

r ≈ 1 −

Этот метод оценивания весьма блюдений. В этом случае оценка r точной.

DW2 . (9.15)

неплох при большом числе напараметра ρ будет достаточно

9.4.2. Метод Кохрана–Оркатта

Другим возможным методом оценивания ρ является итеративный процесс, называемый методом Кохрана–Оркатта. Опишем данный метод на примере парной регрессии (9.8):

Y = β0 + β1X + ε

и авторегрессионной схемы (9.5) первого порядка AR(1)

εt = ρ εt−1 + υt .

1.Оценивается по МНК регрессия (9.8) и для нее определяются оцен-

ки et отклонений εt, t = 1, 2, …, n.

2.Используя схему AR(1), оценивается регрессионная зависимость

et = с et−1 + υt,	(9.16)
где с − оценка коэффициента ρ.
3. На основе данной оценки строится уравнение:
(yt − сyt −1) = б(1− с) + в(x t − сxt −1) + (еt − сеt −1) ,	(9.17)

с помощью которого оцениваются коэффициенты α и β (в этом случае значение с известно).

4.Значения β0 = б(1 − с) и β1 = β подставляются в (9.8). Вновь вычисляются оценки et отклонений и процесс возвращается к этапу 2.

Чередование этапов осуществляется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. То есть пока разность между предыдущей и последующей оценками ρ не станет меньше любого наперед заданного числа.

9.4.3. Метод Хилдрета–Лу

По данному методу регрессия (9.11) оценивается для каждого возможного значения ρ из интервала [−1, 1] с любым шагом (например, 0.001; 0.01 и т. д.). Величина с , дающая наименьшую стандарт-

ную ошибку регрессии, принимается в качестве оценки коэффициента

238

ρ. И значения β0* и β1 оцениваются из уравнения регрессии (9.11) именно с данным значением с .

Этот итерационный метод широко используется в эконометрических пакетах.

9.4.4.Метод первых разностей

Вслучае, когда есть основания считать, что автокорреляция отклонений очень велика, можно использовать метод первых разностей.

Для временных рядов характерна положительная автокорреляция

остатков. Поэтому при высокой автокорреляции полагают ρ = 1, и, следовательно, уравнение (9.11) принимает вид:

yt − yt−1 = β1( xt − xt−1) + ( εt − εt−1 )

или		(9.18)
yt − yt−1 = β1( xt − xt−1) + υt.
Обозначив ∆yt = yt − yt−1 ,	∆xt = xt − xt−1 ,	из (9.18) получим
∆yt	= β1∆xt + υt.	(9.19)

Из уравнения (9.19) по МНК оценивается коэффициент β1. Заметим, что коэффициент β0 в данном случае не определяется непосредственно. Однако из МНК известно, что β0 = y − в1x .

В случае ρ = −1, сложив (9.9) и (9.10) с учетом (9.5), можно получить следующее уравнение регрессии:

yt + yt−1 = 2β0 + β1( xt + xt−1) + υt

или				(9.20)
	yt + yt−1	= в0	+ в1	xt + xt−1	+ хt .
2	2

Однако метод первых разностей предполагает уж слишком сильное упрощение (ρ = ± 1). Поэтому более предпочтительными являются приведенные выше итерационные методы.

Итак, подведем итог. В силу ряда причин (ошибок спецификации, инерционности рассматриваемых зависимостей и др.) в регрессионных моделях может иметь место корреляционная зависимость между соседними случайными отклонениями. Это нарушает одну из фундаментальных предпосылок МНК. Вследствие этого оценки, полученные на основе МНК, перестают быть эффективными. Это делает ненадежными выводы по значимости коэффициентов регрессии и по качеству самого уравнения. Поэтому достаточно важным является умение определить наличие автокорреляции и устранить это нежелатель-

239

ное явление. Существует несколько методов определения автокорреляции, среди которых были выделены графический, метод рядов, критерий Дарбина–Уотсона.

При установлении автокорреляции необходимо в первую очередь проанализировать правильность спецификации модели. Если после ряда возможных усовершенствований регрессии (уточнения состава объясняющих переменных либо изменения формы зависимости) автокорреляция по-прежнему имеет место, то, возможно, это связано с внутренними свойствами ряда отклонений {εt}. В этом случае возможны определенные преобразования, устраняющие автокорреляцию. Среди них выделяется авторегрессионная схема первого порядка AR(1), которая, в принципе, может быть обобщена в AR(k), k = 2, 3, …

Для применения указанных схем необходимо оценить коэффициент корреляции между отклонениями. Это может быть сделано различными методами: на основе статистики Дарбина–Уотсона, Кохрана–Ор- катта, Хилдрета–Лу и др. В случае наличия среди объясняющих переменных лаговой зависимой переменной наличие автокорреляции устанавливается с помощью h-статистики Дарбина. А для ее устранения в этом случае предпочтителен метод Хилдрета–Лу.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое автокорреляция?

2.Назовите основные причины автокорреляции.

3.Что может вызвать отрицательную автокорреляцию?

4.Какая предпосылка МНК нарушается при автокорреляции?

5.Каковы последствия автокорреляции?

6.Перечислите основные методы обнаружения автокорреляции.

7.Опишите схему использования статистики DW Дарбина–Уотсона.

8.Перечислите ограничения использования статистики DW Дарбина–Уотсона.

9.Какая статистика используется для обнаружения автокорреляции в авторегрессионных моделях?

10.Опишите авторегрессионную схему первого порядка AR(1).

11.В чем смысл поправки Прайса–Винстена?

12.Опишите способы определения коэффициента автокорреляции ρ в авторегрессионной схеме первого порядка AR(1).

13.Будут ли верными или ложными следующие утверждения. Ответы поясните.

а) Автокорреляция характерна в основном для временных рядов.

б) При наличии автокорреляции оценки, полученные по МНК, являются смещенными.

240

в) Статистика DW Дарбина–Уотсона не используется в авторегрессионных моделях.

г) Статистика DW Дарбина–Уотсона лежит в пределах от 0 до 4.

д) Для использования статистики DW статистические данные должны иметь одинаковую периодичность.

е) Авторегрессионная схема первого порядка AR(1) устраняет автокорреляцию только в случае, когда коэффициент автокорреляции ρ = 1.

ж) При наличии автокорреляции значение коэффициента детерминации R2 будет всегда существенно ниже единицы.

з) Автокорреляция всегда является следствием неправильной спецификации модели.

Упражнения и задачи

1.Пусть при 50 наблюдениях и трех объясняющих переменных статистика DW принимает следующие значения:

а) 0.91; б) 1.37; в) 2.34; г) 3.01; д) 3.72.

Не заглядывая в таблицу критических точек Дарбина–Уотсона, выскажите мнение о наличии автокорреляции. Проверьте свои выводы по таблице.

2.По таблице критических точек Дарбина–Уотсона для α = 0.05 и α = 0.01 определите значения статистики DW, дающие основание отклонить гипотезу о наличии автокорреляции при объеме выборки n и числе объясняющих пере-

менных m: а) n = 20, m = 1;	б) n = 25, m = 2; в) n = 50, m = 1;
г) n = 50, m = 4;	д) n = 100, m = 2.

Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

3.Используя таблицу Сведа и Эйзенхарта (приложение 7), определите наличие автокорреляции по методу рядов (n − объем выборки, n1 − общее количество

знаков “+”, n2 − общее количество знаков “−”, k − количество рядов).

а)	n	n1	n2	k
20	12	8	3
б)	30	16	16	21
в)	25	16	9	4
г)	15	8	7	5

4.По статистическим данным за 20 лет построено уравнение регрессии между ценой бензина и объемом продаж бензина, для которого DW = 0.71.

а) Будет ли в данном случае иметь место автокорреляция остатков? Если да, то она положительная или отрицательная?

б) Что могло послужить причиной автокорреляции?

в) Какой критерий вы использовали для определения наличия автокорреляции?

г) Какими будут ваши рекомендации по совершенствованию модели?

5.По квартальным данным за 9 лет анализируют зависимость между экспортом (EX) и импортом (IM). Имеются следующие статистические данные:

241

EX		12.47	12.65	12.89	12.97	13.00	13.31	13.25	12.65 14.49	14.47	14.74	14.62

IM		11.07	11.50	12.01	12.28	13.16	13.43	13.28	13.50	15.32	15.62	17.44	16.14
EX		17.60	17.70	16.60	15.26	19.49	19.08	18.69	18.65	19.33	19.11	18.62	18.40

	IM		16.13	16.08	16.55	15.00	18.72	17.80	16.64	17.39	18.70	18.02	17.46	16.96
EX		16.15	16.58	17.60	18.48	15.36	15.25	15.61	15.93	14.38	14.30	14.75	15.58


IM		15.06	16.01	16.63	17.86	14.56	15.64	16.45	17.42	14.30	14.59	14.66	14.95

а) Постройте уравнение регрессии текущего импорта на текущий экспорт. б) Проверьте качество построенной модели на основе t-статистик и коэффи-

циента детерминации R2.

в) Вычислите значение статистики DW Дарбина–Уотсона и на ее основе проанализируйте наличие автокорреляции.

г) На основе полученных результатов будет ли отклоняться гипотеза о положительной зависимости между объемами экспорта и импорта.

д) По этим же статистическим данным постройте регрессию приращения

импорта (∆IM = IMt − IMt−1) на приращение экспорта (∆EX = EXt − EXt−1). е) Каково значение статистики DW для построенного уравнения и какой вывод из этого следует.

ж) Прокомментируйте полученные результаты.

6.По квартальным данным за 35 лет построено уравнение регрессии:


ln(DI)t =	6.32 + 0.0084 t;
(S) =	(3.54) (0.017) R2 = 0.9931 DW = 0.173,

где DI − располагаемый доход, t − время. В скобках указаны стандартные ошибки.

а) Сделайте выводы о качестве построенной модели.

б) Можно ли на основе построенной модели сделать заключение о возрастании располагаемого дохода на рассматриваемом временном интервале.

в) Какими могут быть предложения по совершенствованию модели?

г) Будет ли в данном случае рациональным, с точки зрения смягчения проблемы автокорреляции, переход от абсолютных значений рассматриваемых параметров к их приростам по аналогии с предыдущей задачей?

7.По тридцати годовым данным по МНК построено уравнение регрессии:

			− 0.81 lnxt3
lnyt =	5.12 + 0.31 lnxt1 + 0.52 lnxt2		2 = 0.62 DW = 0.49,
(S)	(2.1) (0.18)	(0.21)	(0.29)
R

где yt − число банкротств; xt1 − уровень безработицы; xt2 − краткосрочная процентная ставка; xt3 − объем новых заказов в момент времени t.

а) Оцените качество построенной модели.

б) Проинтерпретируйте оцененный коэффициент для lnx3t.

в) Какая нулевая гипотеза проверяется на базе статистики DW? Проверьте данную гипотезу при уровне значимости α = 0.01.

242

г) Оказывает ли существенное влияние на число банкротств краткосрочная процентная ставка?

д) Можно ли оценить коэффициент корреляции между случайными отклонениями?

8.Осуществляется анализ средних годовых расходов (Y) студентов на развлечения. По статистическим данным за 32 года по МНК построено следующее

уравнение регрессии:

)

yt = 41.2 + 0.254 xt + 0.539yt−1

(S)

(0.107) (0.133)

R2 = 0.783 DW = 1.86,

Х − располагаемый доход студента после уплаты за обучение и общежитие.

а) Оцените качество построенной модели.

б) Постройте 95%-ный доверительный интервал для коэффициента при Х. в) Насколько вырастут расходы на развлечения при росте располагаемого дохода на единицу.

г) Проверьте гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков при альтернативной гипотезе о положительной автокорреляции с уровнем значимости

α = 0.01.

9.Приведены статистические данные за 25 лет по темпам прироста заработной платы Y%, производительности труда Х1%, а также уровню инфляции Х2%.

Оцените по МНК уравнение регрессии Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ε.

Оцените качество построенного уравнения, проведя при этом проверку наличия гетероскедастичности и автокорреляции.

Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12		13

X1	3.5	2.8	6.3	4.5	3.1	1.5	7.6	6.7	4.2	2.7	4.5	3.5	5.0
X2	4.5	3.0	3.1	3.8	3.8	1.1	2.3	3.6	7.5	8.0	3.9	4.7	6.1
Y	9.0	6.0	8.9	9.0	7.1	3.2	6.5	9.1	14.6	11.9	9.2	8.8	12.0
Год	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

X1	2.3	2.8	1.5	6.0	2.9	2.8	2.6	1.5	0.9	0.6	0.7	3.1
X2	6.9	3.5	7.1	3.1	3.7	3.9	4.0	4.8	4.8	4.2	4.9	3.2
Y	12.5	6.7	8.5	5.9	6.8	5.6	4.8	4.5	6.7	5.5	4.0	3.3

10.Анализируется зависимость между инфляцией (INF) и безработицей (U). Используются статистические данные за 25 лет:


INF	3.07	0.70	4.08	2.20	2.38	0.90	1.10	5.12	0.93	2.54	1.55	3.45	1.09
U	3.69	9.10	3.92	6.50	4.63	8.50	9.55	3.71	5.80		3.60	6.53	4.32	9.20
INF			2.15	5.14	1.72	0.74	4.16	0.93	1.79	1.24	1.12		1.28	7.36	5.30

U			5.75	3.65	7.30	9.65	3.65	9.80	6.28	7.80	8.75	7.22	3.60	3.65

В качестве модели рекомендуется воспользоваться следующим уравнением:

243

ln INFt = β0 + β1lnUt + εt.

а) По МНК оцените коэффициенты β0 и β1.

б) Постройте 95 %-ный доверительный интервал для коэффициента β1. в) Оцените качество построенного уравнения.

г) Вычислите статистику DW Дарбина–Уотсона и на ее основе определите наличие автокорреляции.

д) Проверьте наличие автокорреляции с помощью метода рядов.

е) Сделайте вывод о качестве интервальной оценки для коэффициента β1. ж) Переоцените модель, используя для этого авторегрессионную схему первого порядка AR(1).

з) Постройте новый 95 %-ный доверительный интервал для коэффициента β1. Сравните его с предыдущим интервалом.

и) Прокомментируйте результаты.

11. По 30-годовым наблюдениям строится функция инвестиций: it = β0 + β1yt + β2rt + εt,

где it − объем инвестиций в году t; yt − ВНП в году t; rt − процентная ставка в году t.

Y	8.58	10.45	8.35	10.65	9.7	12.0	13.45	14.2	14.45	13.85

R	18.12	11.05	9.0	17.0	16.25	13.8	19.95	18.74	13.8	9.55
I	11.55	13.25	10.9	10.45	15.1	17.5	17.77	16.1	10.59	10.65
Y	16.55	18.0	18.4	20.4	21.0	23.75	25.75	24.2	25.2	26.2

R	19.3	15.2	12.4	16.5	5.95	17.5	16.43	7.4	15.45	19.15
I	9.32	11.0	15.05	15.1	22.7	21.95	23.1	25.65	26.15	25.55
Y	28.6	30.6	31.32	26.0	26.85	32.1	32.95	33.3	33.85	35.6

R	5.45	9.52	7.95	7.45	19.9	8.65	21.35	11.11	15.82	21.67
I	28.1	24.2	32.3	21.5	22.95	30.45	24.6	32.5	31.2	29.5

а) Оцените по МНК коэффициенты искомого уравнения регрессии.

б) Оцените статистическую значимость коэффициентов и общее качество уравнения регрессии.

в) Используя статистику DW Дарбина–Уотсона, оцените наличие автокорреляции остатков для построенного уравнения.

г) При наличии автокорреляции переоцените уравнение регрессии, используя для этого авторегрессионную схему первого порядка AR(1).

д) Спрогнозируйте объем инвестиций на следующий год, если прогнозируемые значения ВНП и процентной ставки составят соответственно yt+1 = 37 и

rt+1 = 15.

е) Постройте 95 %-ный доверительный интервал для среднего значения прогноза.

244

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Очевидно, что несостоятельность оценки (8.20) тем больше, чем сильнее автокорреляция ошибок е. На практике, однако, часто выполняется условие р у. В этом случае предел оценки наименьших квадратов будет близок к истинному значению параметра, хотя и не равен ему.
[c.202]

Автокорреляция ошибок в моделях со стохастическими регрессорами
[c.212]

Авторегрессионная модель при наличии автокорреляции ошибок
[c.270]

Усложним модель (11.11), добавив в нее автокорреляцию ошибок [c.270]

Тест па автокорреляцию ошибок
[c.271]

Гетероскедастичность и автокорреляция ошибок
[c.85]
Оно лежит в интервале от 0 до 4, в случае отсутствия автокорреляции ошибок приблизительно равно 2, при положительной автокорреляции смещается в меньшую сторону, при отрицательной — в большую сторону.
[c.29]

Отсутствие автокорреляции ошибок, т. е. значения ошибок различных наблюдений независимы друг от друга.
[c.13]

Cochrane-Orcutt assumes that the autocorrelation in your error term is due to the error term following an AR process. If this is your assumption, then just complete the estimation with the additional second-stage regression (with intercept) of $y_{t} — y_{t-1}rho$ against $x_{t} — x_{t-1}rho$ , where $rho$ is the estimated coefficient in the AR of residuals (i.e. first-order autocorr in residuals of the first regression). For more info look here . This source is exhaustive enough.

However notice that the assumption of AR structure on residuals of the first regression may be very restrictive and maybe not the case of your data. So for a more general idea of how to solve the problem, you should likely use a ARIMAX model, where the regression allows for a more general ARIMA Error term (if error terms are linearly autocorrelated) or a regression with Garch Error term (if their squares are autocorrelated). For the first look here and here for the second look here. If you find it useful for clarifications also see this.

Clearly this will give you more flexibility in the choice of the assumed structure of dependencies between residuals. You should choose between the 3 (or more) alternatives by following the typical model specification rules: in this case, you have to choose the residual structure that most closely resembles the actual distribution of your first-stage regression residuals (i.e., to be more precise and statistically correct, the one that best removes the dependencies in the standardized innovations in your final MLE model if you use ARIMAX or GARCH regression).

Источник

Above: A plot of a series of 100 random numbers concealing a sine function. Below: The sine function revealed in a correlogram produced by autocorrelation.

Visual comparison of convolution, cross-correlation, and autocorrelation. For the operations involving function f, and assuming the height of f is 1.0, the value of the result at 5 different points is indicated by the shaded area below each point. Also, the symmetry of f is the reason and fstar g are identical in this example.

Autocorrelation, sometimes known as serial correlation in the discrete time case, is the correlation of a signal with a delayed copy of itself as a function of delay. Informally, it is the similarity between observations of a random variable as a function of the time lag between them. The analysis of autocorrelation is a mathematical tool for finding repeating patterns, such as the presence of a periodic signal obscured by noise, or identifying the missing fundamental frequency in a signal implied by its harmonic frequencies. It is often used in signal processing for analyzing functions or series of values, such as time domain signals.

Different fields of study define autocorrelation differently, and not all of these definitions are equivalent. In some fields, the term is used interchangeably with autocovariance.

Unit root processes, trend-stationary processes, autoregressive processes, and moving average processes are specific forms of processes with autocorrelation.

Auto-correlation of stochastic processes[edit]

In statistics, the autocorrelation of a real or complex random process is the Pearson correlation between values of the process at different times, as a function of the two times or of the time lag. Let ${displaystyle left{X_{t}right}}$ be a random process, and be any point in time ( may be an integer for a discrete-time process or a real number for a continuous-time process). Then $X_{t}$ is the value (or realization) produced by a given run of the process at time . Suppose that the process has mean $mu _{t}$ and variance $sigma _{t}^{2}$ at time , for each . Then the definition of the auto-correlation function between times $t_{1}$ and $t_{2}$ is^[1]^: p.388^[2]^: p.165

${displaystyle operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})=operatorname {E} left[X_{t_{1}}{overline {X}}_{t_{2}}right]}$

(Eq.1)

where is the expected value operator and the bar represents complex conjugation. Note that the expectation may not be well defined.

Subtracting the mean before multiplication yields the auto-covariance function between times $t_{1}$ and $t_{2}$ :^[1]^: p.392^[2]^: p.168

${displaystyle operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=operatorname {E} left[(X_{t_{1}}-mu _{t_{1}}){overline {(X_{t_{2}}-mu _{t_{2}})}}right]=operatorname {E} left[X_{t_{1}}{overline {X}}_{t_{2}}right]-mu _{t_{1}}{overline {mu }}_{t_{2}}}$

(Eq.2)

Note that this expression is not well defined for all time series or processes, because the mean may not exist, or the variance may be zero (for a constant process) or infinite (for processes with distribution lacking well-behaved moments, such as certain types of power law).

Definition for wide-sense stationary stochastic process[edit]

If ${displaystyle left{X_{t}right}}$ is a wide-sense stationary process then the mean and the variance $sigma ^{2}$ are time-independent, and further the autocovariance function depends only on the lag between $t_{1}$ and $t_{2}$ : the autocovariance depends only on the time-distance between the pair of values but not on their position in time. This further implies that the autocovariance and auto-correlation can be expressed as a function of the time-lag, and that this would be an even function of the lag ${displaystyle tau =t_{2}-t_{1}}$ . This gives the more familiar forms for the auto-correlation function^[1]^: p.395

${displaystyle operatorname {R} _{XX}(tau )=operatorname {E} left[X_{t+tau }{overline {X}}_{t}right]}$

(Eq.3)

and the auto-covariance function:

${displaystyle operatorname {K} _{XX}(tau )=operatorname {E} left[(X_{t+tau }-mu ){overline {(X_{t}-mu )}}right]=operatorname {E} left[X_{t+tau }{overline {X}}_{t}right]-mu {overline {mu }}}$

(Eq.4)

In particular, note that

${displaystyle operatorname {K} _{XX}(0)=sigma ^{2}.}$

Normalization[edit]

It is common practice in some disciplines (e.g. statistics and time series analysis) to normalize the autocovariance function to get a time-dependent Pearson correlation coefficient. However, in other disciplines (e.g. engineering) the normalization is usually dropped and the terms «autocorrelation» and «autocovariance» are used interchangeably.

The definition of the auto-correlation coefficient of a stochastic process is^[2]^: p.169

${displaystyle rho _{XX}(t_{1},t_{2})={frac {operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{sigma _{t_{1}}sigma _{t_{2}}}}={frac {operatorname {E} left[(X_{t_{1}}-mu _{t_{1}}){overline {(X_{t_{2}}-mu _{t_{2}})}}right]}{sigma _{t_{1}}sigma _{t_{2}}}}.}$

If the function ${displaystyle rho _{XX}}$ is well defined, its value must lie in the range [-1,1] , with 1 indicating perfect correlation and −1 indicating perfect anti-correlation.

For a wide-sense stationary (WSS) process, the definition is

${displaystyle rho _{XX}(tau )={frac {operatorname {K} _{XX}(tau )}{sigma ^{2}}}={frac {operatorname {E} left[(X_{t+tau }-mu ){overline {(X_{t}-mu )}}right]}{sigma ^{2}}}}$

The normalization is important both because the interpretation of the autocorrelation as a correlation provides a scale-free measure of the strength of statistical dependence, and because the normalization has an effect on the statistical properties of the estimated autocorrelations.

Properties[edit]

Symmetry property[edit]

The fact that the auto-correlation function ${displaystyle operatorname {R} _{XX}}$ is an even function can be stated as^[2]^: p.171

${displaystyle operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})={overline {operatorname {R} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$

respectively for a WSS process:^[2]^: p.173

${displaystyle operatorname {R} _{XX}(tau )={overline {operatorname {R} _{XX}(-tau )}}.}$

Maximum at zero[edit]

For a WSS process:^[2]^: p.174

${displaystyle left|operatorname {R} _{XX}(tau )right|leq operatorname {R} _{XX}(0)}$

Notice that ${displaystyle operatorname {R} _{XX}(0)}$ is always real.

Cauchy–Schwarz inequality[edit]

The Cauchy–Schwarz inequality, inequality for stochastic processes:^[1]^: p.392

${displaystyle left|operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})right|^{2}leq operatorname {E} left[|X_{t_{1}}|^{2}right]operatorname {E} left[|X_{t_{2}}|^{2}right]}$

Autocorrelation of white noise[edit]

The autocorrelation of a continuous-time white noise signal will have a strong peak (represented by a Dirac delta function) at tau =0 and will be exactly for all other tau .

Wiener–Khinchin theorem[edit]

The Wiener–Khinchin theorem relates the autocorrelation function ${displaystyle operatorname {R} _{XX}}$ to the power spectral density ${displaystyle S_{XX}}$ via the Fourier transform:

${displaystyle operatorname {R} _{XX}(tau )=int _{-infty }^{infty }S_{XX}(f)e^{i2pi ftau },{rm {d}}f}$

${displaystyle S_{XX}(f)=int _{-infty }^{infty }operatorname {R} _{XX}(tau )e^{-i2pi ftau },{rm {d}}tau .}$

For real-valued functions, the symmetric autocorrelation function has a real symmetric transform, so the Wiener–Khinchin theorem can be re-expressed in terms of real cosines only:

${displaystyle operatorname {R} _{XX}(tau )=int _{-infty }^{infty }S_{XX}(f)cos(2pi ftau ),{rm {d}}f}$

${displaystyle S_{XX}(f)=int _{-infty }^{infty }operatorname {R} _{XX}(tau )cos(2pi ftau ),{rm {d}}tau .}$

Auto-correlation of random vectors[edit]

The (potentially time-dependent) auto-correlation matrix (also called second moment) of a (potentially time-dependent) random vector ${displaystyle mathbf {X} =(X_{1},ldots ,X_{n})^{rm {T}}}$ is an matrix containing as elements the autocorrelations of all pairs of elements of the random vector . The autocorrelation matrix is used in various digital signal processing algorithms.

For a random vector ${displaystyle mathbf {X} =(X_{1},ldots ,X_{n})^{rm {T}}}$ containing random elements whose expected value and variance exist, the auto-correlation matrix is defined by^[3]^: p.190^[1]^: p.334

${displaystyle operatorname {R} _{mathbf {X} mathbf {X} }triangleq operatorname {E} left[mathbf {X} mathbf {X} ^{rm {T}}right]}$

(Eq.5)

where ${}^{rm T}$ denotes transposition and has dimensions .

Written component-wise:

${displaystyle operatorname {R} _{mathbf {X} mathbf {X} }={begin{bmatrix}operatorname {E} [X_{1}X_{1}]&operatorname {E} [X_{1}X_{2}]&cdots &operatorname {E} [X_{1}X_{n}]\\operatorname {E} [X_{2}X_{1}]&operatorname {E} [X_{2}X_{2}]&cdots &operatorname {E} [X_{2}X_{n}]\\vdots &vdots &ddots &vdots \\operatorname {E} [X_{n}X_{1}]&operatorname {E} [X_{n}X_{2}]&cdots &operatorname {E} [X_{n}X_{n}]\\end{bmatrix}}}$

If is a complex random vector, the autocorrelation matrix is instead defined by

${displaystyle operatorname {R} _{mathbf {Z} mathbf {Z} }triangleq operatorname {E} [mathbf {Z} mathbf {Z} ^{rm {H}}].}$

Here ${displaystyle {}^{rm {H}}}$ denotes Hermitian transposition.

For example, if ${displaystyle mathbf {X} =left(X_{1},X_{2},X_{3}right)^{rm {T}}}$ is a random vector, then ${displaystyle operatorname {R} _{mathbf {X} mathbf {X} }}$ is a matrix whose (i,j) -th entry is ${displaystyle operatorname {E} [X_{i}X_{j}]}$ .

Properties of the autocorrelation matrix[edit]

The autocorrelation matrix is a Hermitian matrix for complex random vectors and a symmetric matrix for real random vectors.^[3]^: p.190
The autocorrelation matrix is a positive semidefinite matrix,^[3]^: p.190 i.e. ${displaystyle mathbf {a} ^{mathrm {T} }operatorname {R} _{mathbf {X} mathbf {X} }mathbf {a} geq 0quad {text{for all }}mathbf {a} in mathbb {R} ^{n}}$ for a real random vector, and respectively ${displaystyle mathbf {a} ^{mathrm {H} }operatorname {R} _{mathbf {Z} mathbf {Z} }mathbf {a} geq 0quad {text{for all }}mathbf {a} in mathbb {C} ^{n}}$ in case of a complex random vector.
All eigenvalues of the autocorrelation matrix are real and non-negative.
The auto-covariance matrix is related to the autocorrelation matrix as follows:

${displaystyle operatorname {K} _{mathbf {X} mathbf {X} }=operatorname {E} [(mathbf {X} -operatorname {E} [mathbf {X} ])(mathbf {X} -operatorname {E} [mathbf {X} ])^{rm {T}}]=operatorname {R} _{mathbf {X} mathbf {X} }-operatorname {E} [mathbf {X} ]operatorname {E} [mathbf {X} ]^{rm {T}}}$

Respectively for complex random vectors:

${displaystyle operatorname {K} _{mathbf {Z} mathbf {Z} }=operatorname {E} [(mathbf {Z} -operatorname {E} [mathbf {Z} ])(mathbf {Z} -operatorname {E} [mathbf {Z} ])^{rm {H}}]=operatorname {R} _{mathbf {Z} mathbf {Z} }-operatorname {E} [mathbf {Z} ]operatorname {E} [mathbf {Z} ]^{rm {H}}}$

Auto-correlation of deterministic signals[edit]

In signal processing, the above definition is often used without the normalization, that is, without subtracting the mean and dividing by the variance. When the autocorrelation function is normalized by mean and variance, it is sometimes referred to as the autocorrelation coefficient^[4] or autocovariance function.

Auto-correlation of continuous-time signal[edit]

Given a signal f(t) , the continuous autocorrelation $R_{ff}(tau )$ is most often defined as the continuous cross-correlation integral of f(t) with itself, at lag tau .^[1]^: p.411

${displaystyle R_{ff}(tau )=int _{-infty }^{infty }f(t+tau ){overline {f(t)}},{rm {d}}t=int _{-infty }^{infty }f(t){overline {f(t-tau )}},{rm {d}}t}$

(Eq.6)

where represents the complex conjugate of f(t) . Note that the parameter in the integral is a dummy variable and is only necessary to calculate the integral. It has no specific meaning.

Auto-correlation of discrete-time signal[edit]

The discrete autocorrelation at lag ell for a discrete-time signal y(n) is

${displaystyle R_{yy}(ell )=sum _{nin Z}y(n),{overline {y(n-ell )}}}$

(Eq.7)

The above definitions work for signals that are square integrable, or square summable, that is, of finite energy. Signals that «last forever» are treated instead as random processes, in which case different definitions are needed, based on expected values. For wide-sense-stationary random processes, the autocorrelations are defined as

${displaystyle {begin{aligned}R_{ff}(tau )&=operatorname {E} left[f(t){overline {f(t-tau )}}right]\R_{yy}(ell )&=operatorname {E} left[y(n),{overline {y(n-ell )}}right].end{aligned}}}$

For processes that are not stationary, these will also be functions of , or .

For processes that are also ergodic, the expectation can be replaced by the limit of a time average. The autocorrelation of an ergodic process is sometimes defined as or equated to^[4]

${displaystyle {begin{aligned}R_{ff}(tau )&=lim _{Trightarrow infty }{frac {1}{T}}int _{0}^{T}f(t+tau ){overline {f(t)}},{rm {d}}t\R_{yy}(ell )&=lim _{Nrightarrow infty }{frac {1}{N}}sum _{n=0}^{N-1}y(n),{overline {y(n-ell )}}.end{aligned}}}$

These definitions have the advantage that they give sensible well-defined single-parameter results for periodic functions, even when those functions are not the output of stationary ergodic processes.

Alternatively, signals that last forever can be treated by a short-time autocorrelation function analysis, using finite time integrals. (See short-time Fourier transform for a related process.)

Definition for periodic signals[edit]

If is a continuous periodic function of period , the integration from -infty to infty is replaced by integration over any interval ${displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}$ of length :

${displaystyle R_{ff}(tau )triangleq int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t+tau ){overline {f(t)}},dt}$

which is equivalent to

${displaystyle R_{ff}(tau )triangleq int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t){overline {f(t-tau )}},dt}$

Properties[edit]

In the following, we will describe properties of one-dimensional autocorrelations only, since most properties are easily transferred from the one-dimensional case to the multi-dimensional cases. These properties hold for wide-sense stationary processes.^[5]

A fundamental property of the autocorrelation is symmetry, ${displaystyle R_{ff}(tau )=R_{ff}(-tau )}$ , which is easy to prove from the definition. In the continuous case,
The continuous autocorrelation function reaches its peak at the origin, where it takes a real value, i.e. for any delay , ${displaystyle |R_{ff}(tau )|leq R_{ff}(0)}$ .^[1]^: p.410 This is a consequence of the rearrangement inequality. The same result holds in the discrete case.
The autocorrelation of a periodic function is, itself, periodic with the same period.
The autocorrelation of the sum of two completely uncorrelated functions (the cross-correlation is zero for all ) is the sum of the autocorrelations of each function separately.
Since autocorrelation is a specific type of cross-correlation, it maintains all the properties of cross-correlation.
By using the symbol to represent convolution and $g_{-1}$ is a function which manipulates the function and is defined as ${displaystyle g_{-1}(f)(t)=f(-t)}$ , the definition for $R_{ff}(tau )$ may be written as:

${displaystyle R_{ff}(tau )=(f*g_{-1}({overline {f}}))(tau )}$

Multi-dimensional autocorrelation[edit]

Multi-dimensional autocorrelation is defined similarly. For example, in three dimensions the autocorrelation of a square-summable discrete signal would be

${displaystyle R(j,k,ell )=sum _{n,q,r}x_{n,q,r},{overline {x}}_{n-j,q-k,r-ell }.}$

When mean values are subtracted from signals before computing an autocorrelation function, the resulting function is usually called an auto-covariance function.

Efficient computation[edit]

For data expressed as a discrete sequence, it is frequently necessary to compute the autocorrelation with high computational efficiency. A brute force method based on the signal processing definition $R_{xx}(j)=sum _{n}x_{n},{overline {x}}_{n-j}$ can be used when the signal size is small. For example, to calculate the autocorrelation of the real signal sequence (i.e. ${displaystyle x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1}$ , and $x_{i}=0$ for all other values of i) by hand, we first recognize that the definition just given is the same as the «usual» multiplication, but with right shifts, where each vertical addition gives the autocorrelation for particular lag values:

${displaystyle {begin{array}{rrrrrr}&2&3&-1\times &2&3&-1\hline &-2&-3&1\&&6&9&-3\+&&&4&6&-2\hline &-2&3&14&3&-2end{array}}}$

Thus the required autocorrelation sequence is ${displaystyle R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)}$ , where $R_{xx}(0)=14,$ ${displaystyle R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,}$ and ${displaystyle R_{xx}(-2)=R_{xx}(2)=-2,}$ the autocorrelation for other lag values being zero. In this calculation we do not perform the carry-over operation during addition as is usual in normal multiplication. Note that we can halve the number of operations required by exploiting the inherent symmetry of the autocorrelation. If the signal happens to be periodic, i.e. then we get a circular autocorrelation (similar to circular convolution) where the left and right tails of the previous autocorrelation sequence will overlap and give ${displaystyle R_{xx}=(ldots ,14,1,1,14,1,1,ldots )}$ which has the same period as the signal sequence The procedure can be regarded as an application of the convolution property of Z-transform of a discrete signal.

While the brute force algorithm is order n², several efficient algorithms exist which can compute the autocorrelation in order n log(n). For example, the Wiener–Khinchin theorem allows computing the autocorrelation from the raw data X(t) with two fast Fourier transforms (FFT):^[6]^{[page needed]}

${displaystyle {begin{aligned}F_{R}(f)&=operatorname {FFT} [X(t)]\S(f)&=F_{R}(f)F_{R}^{*}(f)\R(tau )&=operatorname {IFFT} [S(f)]end{aligned}}}$

where IFFT denotes the inverse fast Fourier transform. The asterisk denotes complex conjugate.

Alternatively, a multiple τ correlation can be performed by using brute force calculation for low τ values, and then progressively binning the X(t) data with a logarithmic density to compute higher values, resulting in the same n log(n) efficiency, but with lower memory requirements.^[7]^[8]

Estimation[edit]

For a discrete process with known mean and variance for which we observe observations ${X_{1},,X_{2},,ldots ,,X_{n}}$ , an estimate of the autocorrelation coefficient may be obtained as

${displaystyle {hat {R}}(k)={frac {1}{(n-k)sigma ^{2}}}sum _{t=1}^{n-k}(X_{t}-mu )(X_{t+k}-mu )}$

for any positive integer k<n . When the true mean and variance $sigma ^{2}$ are known, this estimate is unbiased. If the true mean and variance of the process are not known there are several possibilities:

The advantage of estimates of the last type is that the set of estimated autocorrelations, as a function of , then form a function which is a valid autocorrelation in the sense that it is possible to define a theoretical process having exactly that autocorrelation. Other estimates can suffer from the problem that, if they are used to calculate the variance of a linear combination of the ‘s, the variance calculated may turn out to be negative.^[11]

Regression analysis[edit]

In regression analysis using time series data, autocorrelation in a variable of interest is typically modeled either with an autoregressive model (AR), a moving average model (MA), their combination as an autoregressive-moving-average model (ARMA), or an extension of the latter called an autoregressive integrated moving average model (ARIMA). With multiple interrelated data series, vector autoregression (VAR) or its extensions are used.

In ordinary least squares (OLS), the adequacy of a model specification can be checked in part by establishing whether there is autocorrelation of the regression residuals. Problematic autocorrelation of the errors, which themselves are unobserved, can generally be detected because it produces autocorrelation in the observable residuals. (Errors are also known as «error terms» in econometrics.) Autocorrelation of the errors violates the ordinary least squares assumption that the error terms are uncorrelated, meaning that the Gauss Markov theorem does not apply, and that OLS estimators are no longer the Best Linear Unbiased Estimators (BLUE). While it does not bias the OLS coefficient estimates, the standard errors tend to be underestimated (and the t-scores overestimated) when the autocorrelations of the errors at low lags are positive.

The traditional test for the presence of first-order autocorrelation is the Durbin–Watson statistic or, if the explanatory variables include a lagged dependent variable, Durbin’s h statistic. The Durbin-Watson can be linearly mapped however to the Pearson correlation between values and their lags.^[12] A more flexible test, covering autocorrelation of higher orders and applicable whether or not the regressors include lags of the dependent variable, is the Breusch–Godfrey test. This involves an auxiliary regression, wherein the residuals obtained from estimating the model of interest are regressed on (a) the original regressors and (b) k lags of the residuals, where ‘k’ is the order of the test. The simplest version of the test statistic from this auxiliary regression is TR², where T is the sample size and R² is the coefficient of determination. Under the null hypothesis of no autocorrelation, this statistic is asymptotically distributed as $chi ^{2}$ with k degrees of freedom.

Responses to nonzero autocorrelation include generalized least squares and the Newey–West HAC estimator (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent).^[13]

In the estimation of a moving average model (MA), the autocorrelation function is used to determine the appropriate number of lagged error terms to be included. This is based on the fact that for an MA process of order q, we have , for , and , for .

Applications[edit]

Autocorrelation analysis is used heavily in fluorescence correlation spectroscopy^[14] to provide quantitative insight into molecular-level diffusion and chemical reactions.^[15]
Another application of autocorrelation is the measurement of optical spectra and the measurement of very-short-duration light pulses produced by lasers, both using optical autocorrelators.
Autocorrelation is used to analyze dynamic light scattering data, which notably enables determination of the particle size distributions of nanometer-sized particles or micelles suspended in a fluid. A laser shining into the mixture produces a speckle pattern that results from the motion of the particles. Autocorrelation of the signal can be analyzed in terms of the diffusion of the particles. From this, knowing the viscosity of the fluid, the sizes of the particles can be calculated.
Utilized in the GPS system to correct for the propagation delay, or time shift, between the point of time at the transmission of the carrier signal at the satellites, and the point of time at the receiver on the ground. This is done by the receiver generating a replica signal of the 1,023-bit C/A (Coarse/Acquisition) code, and generating lines of code chips [-1,1] in packets of ten at a time, or 10,230 chips (1,023 × 10), shifting slightly as it goes along in order to accommodate for the doppler shift in the incoming satellite signal, until the receiver replica signal and the satellite signal codes match up.^[16]
The small-angle X-ray scattering intensity of a nanostructured system is the Fourier transform of the spatial autocorrelation function of the electron density.
In surface science and scanning probe microscopy, autocorrelation is used to establish a link between surface morphology and functional characteristics.^[17]
In optics, normalized autocorrelations and cross-correlations give the degree of coherence of an electromagnetic field.
In signal processing, autocorrelation can give information about repeating events like musical beats (for example, to determine tempo) or pulsar frequencies, though it cannot tell the position in time of the beat. It can also be used to estimate the pitch of a musical tone.
In music recording, autocorrelation is used as a pitch detection algorithm prior to vocal processing, as a distortion effect or to eliminate undesired mistakes and inaccuracies.^[18]
Autocorrelation in space rather than time, via the Patterson function, is used by X-ray diffractionists to help recover the «Fourier phase information» on atom positions not available through diffraction alone.
In statistics, spatial autocorrelation between sample locations also helps one estimate mean value uncertainties when sampling a heterogeneous population.
The SEQUEST algorithm for analyzing mass spectra makes use of autocorrelation in conjunction with cross-correlation to score the similarity of an observed spectrum to an idealized spectrum representing a peptide.
In astrophysics, autocorrelation is used to study and characterize the spatial distribution of galaxies in the universe and in multi-wavelength observations of low mass X-ray binaries.
In panel data, spatial autocorrelation refers to correlation of a variable with itself through space.
In analysis of Markov chain Monte Carlo data, autocorrelation must be taken into account for correct error determination.
In geosciences (specifically in geophysics) it can be used to compute an autocorrelation seismic attribute, out of a 3D seismic survey of the underground.
In medical ultrasound imaging, autocorrelation is used to visualize blood flow.
In intertemporal portfolio choice, the presence or absence of autocorrelation in an asset’s rate of return can affect the optimal portion of the portfolio to hold in that asset.
Autocorrelation has been used to accurately measure power system frequency in numerical relays.^[19]

Serial dependence[edit]

Serial dependence is closely linked to the notion of autocorrelation, but represents a distinct concept (see Correlation and dependence). In particular, it is possible to have serial dependence but no (linear) correlation. In some fields however, the two terms are used as synonyms.

A time series of a random variable has serial dependence if the value at some time in the series is statistically dependent on the value at another time . A series is serially independent if there is no dependence between any pair.

If a time series ${displaystyle left{X_{t}right}}$ is stationary, then statistical dependence between the pair ${displaystyle (X_{t},X_{s})}$ would imply that there is statistical dependence between all pairs of values at the same lag .

References[edit]

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Gubner, John A. (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, ISBN 978-3-319-68074-3
^ ^a ^b ^c Papoulis, Athanasius, Probability, Random variables and Stochastic processes, McGraw-Hill, 1991
^ ^a ^b Dunn, Patrick F. (2005). Measurement and Data Analysis for Engineering and Science. New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-282538-1.
^ Proakis, John (August 31, 2001). Communication Systems Engineering (2nd Edition) (2 ed.). Pearson. p. 168. ISBN 978-0130617934.
^ Box, G. E. P.; Jenkins, G. M.; Reinsel, G. C. (1994). Time Series Analysis: Forecasting and Control (3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. ISBN 978-0130607744.
^ Frenkel, D.; Smit, B. (2002). «chap. 4.4.2». Understanding Molecular Simulation (2nd ed.). London: Academic Press. ISBN 978-0122673511.
^ Colberg, P.; Höfling, F. (2011). «Highly accelerated simulations of glassy dynamics using GPUs: caveats on limited floating-point precision». Comput. Phys. Commun. 182 (5): 1120–1129. arXiv:0912.3824. Bibcode:2011CoPhC.182.1120C. doi:10.1016/j.cpc.2011.01.009. S2CID 7173093.
^ Priestley, M. B. (1982). Spectral Analysis and Time Series. London, New York: Academic Press. ISBN 978-0125649018.
^ Percival, Donald B.; Andrew T. Walden (1993). Spectral Analysis for Physical Applications: Multitaper and Conventional Univariate Techniques. Cambridge University Press. pp. 190–195. ISBN 978-0-521-43541-3.
^ Percival, Donald B. (1993). «Three Curious Properties of the Sample Variance and Autocovariance for Stationary Processes with Unknown Mean». The American Statistician. 47 (4): 274–276. doi:10.1080/00031305.1993.10475997.
^ «Serial correlation techniques». Statistical Ideas. 26 May 2014.
^ Baum, Christopher F. (2006). An Introduction to Modern Econometrics Using Stata. Stata Press. ISBN 978-1-59718-013-9.
^ Elson, Elliot L. (December 2011). «Fluorescence Correlation Spectroscopy: Past, Present, Future». Biophysical Journal. 101 (12): 2855–2870. Bibcode:2011BpJ…101.2855E. doi:10.1016/j.bpj.2011.11.012. PMC 3244056. PMID 22208184.
^ Hołyst, Robert; Poniewierski, Andrzej; Zhang, Xuzhu (2017). «Analytical form of the autocorrelation function for the fluorescence correlation spectroscopy». Soft Matter. 13 (6): 1267–1275. Bibcode:2017SMat…13.1267H. doi:10.1039/C6SM02643E. ISSN 1744-683X. PMID 28106203.
^ Van Sickle, Jan (2008). GPS for Land Surveyors (Third ed.). CRC Press. pp. 18–19. ISBN 978-0-8493-9195-8.
^ Kalvani, Payam Rajabi; Jahangiri, Ali Reza; Shapouri, Samaneh; Sari, Amirhossein; Jalili, Yousef Seyed (August 2019). «Multimode AFM analysis of aluminum-doped zinc oxide thin films sputtered under various substrate temperatures for optoelectronic applications». Superlattices and Microstructures. 132: 106173. doi:10.1016/j.spmi.2019.106173. S2CID 198468676.
^ Tyrangiel, Josh (2009-02-05). «Auto-Tune: Why Pop Music Sounds Perfect». Time. Archived from the original on February 10, 2009.
^ Kasztenny, Bogdan (March 2016). «A New Method for Fast Frequency Measurement for Protection Applications» (PDF). Schweitzer Engineering Laboratories. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09. Retrieved 28 May 2022.

Auto-correlation of stochastic processes[edit]

Definition for wide-sense stationary stochastic process[edit]

Normalization[edit]

Properties[edit]

Symmetry property[edit]

Maximum at zero[edit]

Cauchy–Schwarz inequality[edit]

Autocorrelation of white noise[edit]

Wiener–Khinchin theorem[edit]

Auto-correlation of random vectors[edit]

Properties of the autocorrelation matrix[edit]

Auto-correlation of deterministic signals[edit]

Auto-correlation of continuous-time signal[edit]

Auto-correlation of discrete-time signal[edit]

Definition for periodic signals[edit]

Properties[edit]

Multi-dimensional autocorrelation[edit]

Efficient computation[edit]

Estimation[edit]

Regression analysis[edit]

Applications[edit]

Serial dependence[edit]

See also[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

Не пропустите эти материалы по теме: