Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м - Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает!

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор

Сообщение

stusha

Заголовок сообщения: Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м

Добавлено: 18 дек 2011, 14:33

Начинающий

Зарегистрирован:
18 дек 2011, 14:30
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Задача на нормальный закон распределения, помогите решить.

Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м и серединную ошибку 50 м. какая вероятность того, что ошибка измерения не привысит по абсолютной величине 5 м.

Вернуться к началу

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Прибор состоит из 15 узлов в форуме Теория вероятностей	Alexandr42	1	382	05 апр 2017, 15:45
Прибор состоит из n элементов в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей	Tatiana_1	1	89	21 сен 2022, 15:50
Найдите вероятность, что прибор выключен в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей	Yanchik	1	102	31 окт 2022, 19:50
Где я допустил ошибку? в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	Garfield	8	362	06 окт 2017, 21:39
Найти ошибку в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения	NERFSD	2	305	08 ноя 2017, 19:49
Найти ошибку в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	tanyhaftv	3	231	16 фев 2019, 23:37
Укажите ошибку в форуме Алгебра	Andreww	3	303	22 фев 2018, 17:19
Найти ошибку в композиции в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика	ZeGRyX	1	135	08 окт 2020, 13:25
Покажите ошибку в доказательствах в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление	sa233091	3	273	11 авг 2016, 21:23
Помогите найти ошибку в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения	Danoldjar	2	449	24 сен 2015, 10:54

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group

Вы можете создать форум бесплатно PHPBB3 на Getbb.Ru, Также возможно сделать готовый форум PHPBB2 на Mybb2.ru

Русская поддержка phpBB

Источник

Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ.

Числовые характеристики

Для вычисления математического ожидания нормально распределенной случайной величины воспользуемся тем, что интеграл Пуассона

										z2
									e 2 dz	2 .
		1		( x a )2					x a			1				z2
									)
M(X)		xe 2 2 dx (z	( z a)e 2 dz

2	2

		1			z2			a			z2				a
			ze	2 dz		e 2 dz	0						2	a

		2		2			2

(первое слагаемое равно 0, так как подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля).

						1						( x a )2
	D(X)						(x a)2 e 2 2 dx

			2

		2					z2						z2
				z	ze 2	dz (u	z, dv ze	2 )

		2

2		z2							z2	2

	z	e 2					e 2 dz			0	2	2 .

2					2

Следовательно, параметры нормального распределения (а и σ) равны соответственно математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению исследуемой случайной величины.

Замечание. Можно показать, что для нормального распределения	4	3	, и,

	4

соответственно, эксцесс Ех = 0. Для кривых с более острой вершиной Ех >0, в случае более плоской вершины Ех < 0.

Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

f (x)	0,	x	0	(8)
e	x , x		0.

В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию распределения показательного закона:

	x	0		x
F(x)	f (t)dt	0 dt		e t dt 1 e x .
				0
Следовательно,
	F(x)	0,	x	0
	1 e	x ,	x 0.

Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b):

p(a X b) e a e b .

Значения функции е-х можно найти из таблиц.

Функция надежности

Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t0 = 0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция F(t) = p(T > t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна

R(t) = p(T > t) = 1 – F(t).

Эта функция называется функцией надежности.

Показательный закон надежности

Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть

F(t) = 1 – e— t .

Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:

R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e— t) = e— t .

Определение. Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

R(t) = e— t ,

где – интенсивность отказов.

Пример 4.

Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения f(t) = 0,1 e—0,1t при t ≥ 0. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.

Решение.

Так как = 0,1, R(10) = e-0,1·10 = e-1 = 0,368.

Числовые характеристики

Для показательного распределения

	M(X)		xe		xdx		xe	x				e	xdx
		0													0	0
							1						1
								e	x				;
										0

				1									1
D(X)	x2 e xdx				x2 e x		2 xe	xdx
2				2

	0													0	0
			2			1			1		;			1	.
		2		2		2

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.

Стрелок делает 6 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Для случайной величины Х – числа попаданий – найти вероятность того, что Х < 3.

Указание

Случайная величина Х распределена по биномиальному закону. Найдите вероятности того, что Х равна 0, 1 и 2.

Решение

Случайная величина Х распределена по биномиальному закону, поэтому


p(X k)	C6k 0, 7k 0, 36 k
	p(0)	0, 36	0, 000729;
p(1)	6	0, 7	0, 35	0, 010206;
p(2)	C62	0, 49 0, 34	0, 059535;
p(X 3)	p(0)		p(1)	p(2) 0, 07047.

Ответ: 0,07047.

Задача 2.

Стрелок делает 6 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Для случайной величины Х – числа попаданий – найти дисперсию.

Указание

Случайная величина Х распределена по биномиальному закону, поэтому D(X) = npq.

Решение

D(X) npq 6 0,7 0, 3 1, 26.

Ответ: 1,26.

Задача 3.

Вероятность повреждения изделия при перевозке составляет 2%. Случайная величина Х – число изделий из партии в 100 штук, поврежденных при перевозке. Найти вероятность того, что X < 2 (ответ округлить до третьего знака после запятой).

Указание

Можно считать, что Х распределена по закону Пуассона, то есть

p(X k)	k e	,	np
k !

(здесь п – число изделий, р – вероятность повреждения одного изделия).

Решение

Воспользуемся формулой Пуассона:

p(X	k)	k e		,	np
k !
					2k e 2
	2,	p(X	k)	k ! .
p(X 0) e 2 , p(X 1) 2e 2 , p(X 2) 2e 2 ,
p(X 2) p(X	0) p(X 1)	p(X	2) 5e 2 0, 677.

Ответ: 0,677.

Задача 4.

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего числа на шкале. Полагая, что ошибка измерения Х распределена по равномерному закону, найти дисперсию D(X).

Указание

Воспользуйтесь формулой для вычисления дисперсии равномерно распределенной случайной величины:

D(X)	(b a)2	.
12

Решение
a 0, b 0, 2, D(X)	(b a)2	0,04	1	.
	12		12	300

Ответ: 3001 .

Задача 5.

Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м, а случайные ошибки распределены по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 75 м. Найти вероятность того, что ошибка измерения не превысит по модулю 5 м.

Указание

Из условия задачи следует, что параметры нормального закона а = 5, = 75. Для определения искомой вероятности воспользуйтесь формулой

p(	X	)			a		a	.
Решение

Параметры нормального закона а = 5,	= 75. Тогда
p( 5	X	5)	5	5		5	5

75			75

(0)		( 0, 133)		0 0, 053	0, 053.

Ответ: 0,053.

Задача 6.

Какой наименьшей ширины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более 0,0027 получалась деталь с контролируемым размером вне поля допуска, если случайные отклонения размера от середины поля допуска распределены по нормальному закону с параметрами а = 0, = 5?

Указание

Используйте «правило трех сигм».

Решение

Если вероятность выхода размера детали из поля допуска равна 0,0027, то вероятность того, что размер попадает в поле допуска, равна 1 – 0,0027 = 0,9973. Именно такова вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (а — 3 , а + 3 ). Следовательно, размеры

поля допуска: (0 – 15, 0 + 15) = (-15, 15), а ширина поля допуска – не менее

30.

Ответ: 30.

Задача 7.

Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часам. Полагая, что время безотказной работы распределено по показательному закону, найти вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.

	Указание
Найдите значение параметра	из условия, что М(Х) = 1/ , и воспользуйтесь
формулой
	R(t)	e	t .
	Решение
	1		1	0, 0125;

	M(X)	80

R(100)	e 0,0125 100	e 1,25 0, 286.
Ответ: 0,286.

1.2.4. Двумерные случайные величины. Коррелированность случайных величин

Наряду с одномерными случайными величинами, возможные значения которых определяются одним числом, теория вероятностей рассматривает и многомерные случайные величины. Каждое возможное значение такой величины представляет собой упорядоченный набор нескольких чисел. Геометрической иллюстрацией этого понятия служат точки п-мерного пространства, каждая координата которых является случайной величиной (дискретной или непрерывной), или п-мерные векторы. Поэтому многомерные случайные величины называют еще случайными векторами.

Дискретные двумерные случайные величины

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y) имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p(xi, yj), с которыми величина принимает значение (xi, yj):

Y				Х
	x1	x2	…		xi	…	xn
y1	p(x1, y1)	p(x2, y1)	…	p(xi, y1)	…	p(xn, y1)
…	…	…	…		…	…	…
yj	p(x1, yj)	p(x2, yj)	…	p(xi, yj)	…	p(xn, yj)
…	…	…	…		…	…	…
ym	p(x1, ym)	p(x2, ym)	…	p(xi, ym)	…	p(xn, ym)

При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1. Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения ее составляющих. Действительно, событие Х = х1 представляется собой сумму несовместных событий (X = x1, Y = y1), (X = x1, Y = y2),…, (X = x1, Y = ym), поэтому

р(Х = х1) = p(x1, y1) + p(x1, y2) +…+ p(x1, ym)

(в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х1). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей

Y = yj.

Пример 1.

Дан закон распределения двумерной случайной величины:

Y		X
	-2	3	6
-0,8	0,1	0,3	0,1
-0,5	0,15	0,25	0,1

Найти законы распределения составляющих.

Решение. Складывая стоящие в таблице вероятности «по столбцам», получим ряд распределения для Х:

Складывая те же вероятности «по строкам», найдем ряд распределения для Y:

Непрерывные двумерные случайные величины

Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность того, что X < x, a Y < y:

F(x, y) p(X x,Y y). (1)

Это означает, что точка (X, Y) попадет в область, заштрихованную на рис. 1, если вершина прямого угла располагается в точке (х, у).

Замечание. Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и для дискретной двумерной случайной величины.

Свойства функции распределения:

1)0 ≤ F(x, y) ≤ 1 (так как F(x, y) является вероятностью).

2)F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу:

F(x2, y) ≥ F(x1, y), если x2 > x1; F(x, y2) ≥ F(x, y1), если y2 > y1.

Доказательство.

F(x2, y) = p(X < x2, Y < y) = p(X < x1, Y < y) + p(x1 ≤ X < x2, Y < y) ≥ ≥ p(X < x1, Y < y) = F(x1, y).

Аналогично доказывается и второе утверждение.

3)Имеют место предельные соотношения:

a)	F(	, y)	0;
b)	F(x,	)	0;
c)	F(	,	) 0;

d)F( , ) 1.

Доказательство.

События а), b) и с) невозможны ( так как невозможно событие

X или Y ),

а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенных

равенств.
4)	При у =	функция распределения двумерной случайной величины
становится функцией распределения составляющей Х:
		F(x, ) F1(x).
При	х =	функция распределения двумерной случайной величины

становится функцией распределения составляющей Y :

F( , y) F2(y).

Доказательство.

Так как событие Y < достоверно, то

F(x, ) p(X x) F1(x).

Аналогично доказывается второе утверждение.

Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения:

f (x, y)	2F(x, y)	.	(2)
x y

Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами х и у к площади этого прямоугольника при х 0, у 0.

Свойства двумерной плотности вероятности:

1) f(x, y) ≥ 0 (см. предыдущее замечание: вероятность попадания точки в прямоугольник неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно, предел их отношения неотрицателен).

2)F(x, y) f (x, y)dxdy

(cледует из определения двумерной плотности вероятности).

3)F(x, y) f (x, y)dxdy

(поскольку это вероятность того, что точка попадет на плоскость Оху, то есть достоверного события).

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

Пусть в плоскости Оху задана произвольная область D. Найдем вероятность того, что точка, координаты которой представляют собой систему двух случайных величин (двумерную случайную величину) с плотностью распределения f(x, y), попадет в область D. Разобьем эту область прямыми, параллельными осям координат, на прямоугольники со сторонами х и у. Вероятность попадания в каждый такой прямоугольник равна f ( i , i ) x y,

где ( i , i ) — координаты точки, принадлежащей прямоугольнику. Тогда вероятность попадания точки в область D есть предел интегральной суммы

n
f (	i , i ) x y, ,
i 1
то есть
p((X,Y) D)	f (x, y)dxdy.	(3)
D

Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины

Выше было сказано, как найти функцию распределения каждой составляющей, зная двумерную функцию распределения. Тогда по определению плотности распределения

						x
					d	f (x, y)
f1	(x)	dF1(x)		dF(x, )			f (x, y)dy. (4)
dx		dx	dx

Аналогично находится

Условные законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину и найдем закон распределения составляющей Х при условии, что Y примет определенное значение (например, Y = у1). Для этого воспользуемся формулой Байеса, считая гипотезами события Х = х1, Х = х2,…, Х = хп, а событием А – событие Y = у1. При такой постановке задачи нам требуется найти условные вероятности гипотез при условии, что А произошло. Следовательно,

р	(x	)	p(xi , y1 )	.

	y1 i		p(y1 )

Таким же образом можно найти вероятности возможных значений Х при условии, что Y принимает любое другое свое возможное значение:

р		(x )	p(xi , y j )	.	(5)
y j
	i	p(y j )

Аналогично находят условные законы распределения составляющей Y:

px (y j ) p(xi , y j ) . (5 ) i p(xi )

Пример 2.

Найдем закон распределения Х при условии Y = -0,8 и закон распределения Y при условии Х = 3 для случайной величины, рассмотренной в примере 1.

р(x1 /y1 )	0, 1	1	0, 2; р(x2	/y1 )	0, 3	3	0, 6;
0, 5	5	0, 5	5

			р(x3 /y1 )	0, 1	1	0, 2.
			0, 5	5

р(у1	/х2 )			0, 3		6	; р(у2	/х2 )	0, 25	5	.
0, 55	11	0, 55		11

Соседние файлы в папке ТВиМС

Источник

Математика,

вопрос задал FeD0tov,

5 лет назад

На этот вопрос еще никто не ответил. Напишите свой ответ или воспользуйтесь поиском:

Добавить свой ответ

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Английский язык,
9 месяцев назад

Помогите (СРОЧНО!!!) по англ.яз 5 клчасс (ответь и получи все мои баллы)…

Қазақ тiлi,
9 месяцев назад

көшпелі өмір салты дегенді қалай түсіндің …

Биология,
5 лет назад

составить рассказ об органах чувств помогите пожалуйста ребят даю 10 балов …

Химия,
5 лет назад

Задача
Для маринування огірків потрібні 750 мл столового оцту (масова частка кислоти 6%, густина розчину рівна густині води), але у вас є тільки оцтова есенція (масова частка кислоти 70%).

Физика,
6 лет назад

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!
1) Чему равна равнодействующая сил F1 и F2,действующих на тележку. Что вы можете сказать о движении тележки? Рис. 63
2) На тело действуют три силы,направленные вдоль одной…

Литература,
6 лет назад

произведения о птицах как они называются и кто их написал…

Источник

Помогаю со студенческими работами здесь

Найти вероятность того, что незабракованный прибор имеет дефекты
Если не трудно помогите с задачами.

1. Отдел технического контроля (ОТК) проводит сортировку…

Определить систематическую нумерацию дня года
Дни неделя так пронумерованы: 1-понд, 2-втор, 3-сред, 4-четв, 5-пятнц, 6-субб, 7-воск. Дано A-целое…

Шунт измерительный
Здравствуйте.
Подскажите какой шунт лучше выбрать для измерения постоянного тока (300-400)мА? На…

Измерительный пинцет
Давно назрела необходимость подобного щупа, да все никак времени не было. Пользовался наспех…

Измерительный усилитель на ОУ
Добрый день!

Прочитал в книге про ОУ (книга "Операционные усилители", автор И.Достал, стр. 202)…

Измерительный мост
доброго времени суток!
Как известно,по приведённой схеме моста Уитстона,сопротивление Rx -…

Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Источник

создана: 13.05.2014 в 16:04
…………………………………………

svetko :

3) Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м и среднеквадратическую – 75 м. Ошибка измерения распределена нормально. Найти вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 5 м?

4) Производится 3 независимых опыта, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью 0,4. Найти распределение числа появлений события А в трех опытах и его характеристики. Построить график функции распределения.

Источник

Кто сейчас на конференции

Не пропустите эти материалы по теме: