Вероятность ошибки знак

Уровень
значимости — это вероятность того, что
мы сочли различия существенными, а они
на самом деле случайны.

Когда
мы указываем, что различия достоверны
на 5%-ом уровне значимости, или при р<0,05,
то мы имеем виду, что вероятность того,
что они все-таки недостоверны, составляет
0,05.

Когда
мы указываем, что различия достоверны
на 1%-ом уровне значимости, или при р<0,01,
то мы имеем в виду, что вероятность того,
что они все-таки недостоверны, составляет
0,01.

Если
перевести все это на более формализованный
язык, то уровень значимости — это
вероятность отклонения нулевой гипотезы,
в то время как она верна.

Ошибка,
состоящая в том, что мы отклонили нулевую
гипотезу, в то время как она верна,
называется ошибкой 1 рода.

Вероятность
такой ошибки обычно обозначается как
а. В сущности, мы должны были бы указывать
в скобках не р<0,05 или р<0,01, а а<0,05
или <Х<0,01. В некоторых руководствах
так и делается (Рунион Р., 1982; Захаров
В.П., 1985 и др.).

Если
вероятность ошибки — это а, то вероятность
правильного решения: 1—а. Чем меньше а,
тем больше вероятность правильного
решения.

Исторически
сложилось так, что в психологии принято
считать низшим уровнем статистической
значимости 5%-ый уровень (р<0,05): достаточным
— 1%-ый уровень (р^О.01) и высшим 0,1% -ый
уровень (р<0,001), поэтому в таблицах
критических значений обычно приводятся
значения критериев, соответствующих
уровням статистической значимости
р<0,05 и р<0,01, иногда — р<0,001. Для
некоторых критериев в таблицах указан
точный уровень значимости их разных
эмпирических значений. Например, для
ф*=1,56 р=0,06.

До
тех пор, однако, пока уровень статистической
значимости не достигнет р=0,05, мы еще не
имеем права отклонить нулевую гипотезу.

Правило
отклонения HQ и принятия Hi

Если
эмпирическое значение критерия равняется
критическому значению, соответствующему
р^0,05 или превышает его, то HQ отклоняется,
но мы еще не можем определенно принять
W.

Если
эмпирическое значение критерия равняется
критическому значению, соответствующему
р<0,01 или превышает его, то HQ отклоняется
и принимается Н^.

Исключения:
критерий
знаков G, критерий Т Вилкоксона и критерий
U Манна-Уитни. Для них устанавливаются
обратные соотношения. Для облегчения
процесса принятия решения можно всякий
раз вычерчивать «ось значимости».

Критические
значения критерия обозначены как Qo,O5 и
Qo,O1> эмпирическое значение критерия
как QaMn. Оно заключено в эллипс.

Вправо
от критического значения Qo.oi простирается
«зона значимости» — сюда попадают
эмпирические значения, превышающие
Qooi и, следовательно, безусловно значимые.

Влево
от критического значения Qo,O5 простирается
«зона незначимое™», — сюда попадают
эмпирические значения Q, которые ниже
Qo,O5′ и≫
следовательно, безусловно незначимы.
Мы видим, что Qo,o5=6; Qo.oi=9; Q9Mn=8.

Эмпирическое
значение критерия попадает в область
между Qo,O5 и Qo.oi- Это зона «неопределенности»:
мы уже можем отклонить гипотезу о
недостоверности различий (HQ), НО еще не
можем принять гипотезы об их достоверности
(Hf).

Практически,
однако, исследователь может считать
достоверными уже те различия, которые
не попадают в зону незначимости, заявив,
что они достоверны при р<0,05, или указав
точный уровень значимости полученного
эмпирического значения критерия,
например: р=0,02. С помощью таблиц Приложения
1 это можно сделать по отношению к
критериям Н Крускала-Уоллиса, у}г
Фридмана,
L Пейджа, ф* Фишера, X
Колмогорова.

Уровень
статистической значимости или критические
значения критериев определяются
по-разному при проверке направленных
и ненаправленных статистических гипотез.
При направленной статистической гипотезе
используется односторонний критерий,
при ненаправленной гипотезе — двусторонний
критерий. Двусторонний критерий более
строг, поскольку он проверяет различия
в обе стороны, и поэтому то эмпирическое
значение критерия, которое ранее
соответствовало уровню значимости
р<0,05, теперь соответствует лишь уровню
р<0,10.

Билет 9 Параметрические
и непараметрические методы. Мощность
критериев

1. Параметрические и непараметрические
   методы

Методы обучения, т.е. нахождения достаточно
хорошей распознающей функ-

ции f 2 F, традиционно подразделяются на
параметрические и непарамет-

рические в соответствии с тем, просто
или сложно устроено пространство F.

Параметрические — это те методы, в
которых F = fF(w; ¢)jw 2 Wg для неко-

торого достаточно удобного (например,
евклидова) пространства параметров

W и некоторой функции F: W £ X ! Y, а
непараметрические — это мето-

ды, в которых, якобы, пространство F не
зафиксировано заранее, а зависит

от обучающего набора T. На самом деле
разница между параметрическими и

непараметрическими методами — только
в употребляемых словах.

Полезный пример параметрических методов
— методы обучения линейных

распознавателей, которых даже для
простейшей линейной регрессии (X = Rd,

Y
= R,
W
= R
£ Rd,
F(w;
x)
= w0
+Pdj=1
wjxj) довольно много. Подробнее

эти методы рассматриваются в разделе
2.

[А.Б. Мерков]

 непараметрические
методы    в
математической статистике, методы
непосредственной оценки теоретического
распределения вероятностей и тех или
иных его общих свойств (симметрии и
т.п.) по результатам наблюдений. Название
Н. м. подчёркивает их отличие от
классических (параметрических)
методов, в которых
предполагается, что неизвестное
теоретическое распределение принадлежит
какому-либо семейству, зависящему от
конечного числа параметров (например,
семейству нормальных распределений, и
которые позволяют по результатам
наблюдений оценивать неизвестные
значения этих параметров и проверять
те или иные гипотезы относительно их
значений. Разработка Н. м. является в
значительной степени заслугой советских
учёных.

1. Мощность критериев

Мощность критерия — это его способность
выявлять различия, если они есть. Иными

словами, это его способность отклонить
нулевую гипотезу об отсутствии различий,
если

она неверна.

Ошибка, состоящая в том, что мы приняли
нулевую гипотезу, в то время как

она неверна, называется ошибкой II рода.

Вероятность такой ошибки обозначается
как β. Мощность критерия — это его

способность не допустить ошибку II рода,
поэтому:

Мощность=1—β

Мощность критерия определяется
эмпирическим путем. Одни и те же задачи
могут

быть решены с помощью разных критериев,
при этом обнаруживается, что некоторые

критерии позволяют выявить различия
там, где другие оказываются неспособными
это

сделать, или выявляют более высокий
уровень значимости различий. Возникает
вопрос: а

зачем же тогда использовать менее
мощные критерии? Дело в том, что
основанием для

выбора критерия может быть не только
мощность, но и другие его характеристики,
а

именно:

а) простота;

б) более широкий диапазон использования
(например, по отношению к данным,

определенным по номинативной шкале,
или по отношению к большим n);

в) применимость по отношению к неравным
по объему выборкам;

г) большая информативность результатов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Маркетинг – та сфера, где больше всего любят работать с большими данными (англ. big data), однако излюбленный инструмент маркетологов – A/B-тестирование – предполагает использование малых данных (англ. small data). При этом какие бы цифры ни были получены по итогам теста, все сводится к анализу статистической выборки и определению статистической значимости результатов эксперимента. Неотъемлемой частью данного исследования является P-значение, о котором мы хотим рассказать в этой статье.

Нашли ошибку в тексте? Выделите нужный фрагмент и нажмите
ctrl
+
enter

Часть серии по статистике
Теория вероятности
Аксиомы вероятности
Пространство вероятностей Образец пространства Элементарное событие Мероприятие Случайная переменная Вероятностная мера
Дополнительное мероприятие Совместная вероятность Предельная вероятность Условная возможность
Независимость Условная независимость Закон полной вероятности Закон больших чисел Теорема Байеса Неравенство Буля
Диаграмма Венна Древовидная диаграмма
v т е

Попарная вероятность ошибки есть вероятность ошибки , что для передаваемого сигнала ( ) , соответствующая ее , но искаженная версия ( ) будет получена. Этот тип вероятности называется «парной вероятностью ошибки», потому что вероятность существует с парой векторов сигналов в сигнальном созвездии. В основном используется в системах связи.

Расширение определения

Как правило, принятый сигнал представляет собой искаженную версию переданного сигнала. Таким образом, мы вводим вероятность ошибки символа, которая представляет собой вероятность того, что демодулятор сделает неправильную оценку переданного символа на основе принятого символа, которая определяется следующим образом:

где M — размер сигнального созвездия.

Вероятность попарной ошибки определяется как вероятность того, что при передаче будет получено.

может быть выражена как вероятность того, что по крайней мере один ближе , чем к .

Используя верхнюю границу вероятности объединения событий, можно записать:

В заключение:

Вычисление в закрытой форме

Для простого случая канала аддитивного белого гауссова шума (AWGN):

В закрытом виде PEP можно рассчитать следующим образом:

— гауссова случайная величина со средним 0 и дисперсией .

Для нулевого среднего, дисперсия гауссовской случайной величины:

Следовательно,

Смотрите также

• Обработка сигналов
• Телекоммуникации
• Электротехника
• Случайная переменная

Ссылки

дальнейшее чтение

• Прасад, 5-й международный симпозиум IEEE по персональной, внутренней и мобильной радиосвязи (PIMRC ’94), Гаага, Нидерланды, 18–22 сентября 1994 г .; Региональное совещание ICCC по беспроводным компьютерным сетям (WCN), Гаага, Нидерланды, 21–23 сентября 1994 г .; под редакцией Джоса Х. Вебера, Йенса К. Арнбака и Рамджи (1994). Беспроводные сети: ловя мобильное будущее: труды . Амстердам: IOS Press. С. 564–575. ISBN 9051991932.
• Саймон, Марвин К .; Алуини, Мохамед-Слим (2005). Цифровая связь по каналам с замиранием (2-е изд.). Хобокен: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0471715239.

Статистические символы

Таблица и определения символов вероятности и статистики.

Таблица вероятностных и статистических символов

Символ	Название символа	Значение / определение	пример
P ( А )	функция вероятности	вероятность события A	P ( A ) = 0,5
P ( A ∩ B )	вероятность пересечения событий	вероятность того, что событий A и B	P ( A ∩ B ) = 0,5
P ( A ∪ B )	вероятность объединения событий	вероятность того, что событий A или B	P ( A ∪ B ) = 0,5
P ( A | B )	функция условной вероятности	вероятность события A данное событие B произошло	P ( A | B ) = 0,3
f ( x )	функция плотности вероятности (pdf)	P ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x ) dx
F ( х )	кумулятивная функция распределения (cdf)	F ( х ) = Р ( Х ≤ х )
μ	Средняя численность населения	среднее значение совокупности	μ = 10
E ( X )	ожидаемое значение	ожидаемое значение случайной величины X	E ( X ) = 10
E ( X | Y )	условное ожидание	ожидаемое значение случайной величины X с учетом Y	E ( X | Y = 2 ) = 5
var ( X )	отклонение	дисперсия случайной величины X	var ( X ) = 4
σ 2	отклонение	дисперсия значений совокупности	σ 2 = 4
std ( X )	стандартное отклонение	стандартное отклонение случайной величины X	std ( X ) = 2
σ X	стандартное отклонение	значение стандартного отклонения случайной величины X	σ X = 2
	медиана	среднее значение случайной величины x
cov ( X , Y )	ковариация	ковариация случайных величин X и Y	cov ( X, Y ) = 4
корр ( X , Y )	корреляция	корреляция случайных величин X и Y	корр ( X, Y ) = 0,6
ρ X , Y	корреляция	корреляция случайных величин X и Y	ρ X , Y = 0,6
∑	суммирование	суммирование — сумма всех значений в диапазоне ряда
∑∑	двойное суммирование	двойное суммирование
Пн	Режим	значение, которое чаще всего встречается в популяции
MR	средний диапазон	MR = ( х макс + х мин ) / 2
Мкр	медиана выборки	половина населения ниже этого значения
Q 1	нижний / первый квартиль	25% населения ниже этого значения
2 квартал	медиана / второй квартиль	50% населения ниже этого значения = медиана выборки
3 квартал	верхний / третий квартиль	75% населения ниже этого значения
х	выборочное среднее	среднее / среднее арифметическое	х = (2 + 5 + 9) / 3 = 5,333
с 2	выборочная дисперсия	оценщик дисперсии выборки населения	s 2 = 4
с	стандартное отклонение выборки	Оценка стандартного отклонения выборки населения	s = 2
z x	стандартная оценка	z x = ( x — x ) / s x
X ~	распределение X	распределение случайной величины X	X ~ N (0,3)
N ( μ , σ 2 )	нормальное распределение	гауссово распределение	X ~ N (0,3)
U ( а , б )	равномерное распределение	равная вероятность в диапазоне a, b	Х ~ U (0,3)
ехр (λ)	экспоненциальное распределение	f ( x ) = λe — λx , x ≥0
гамма ( c , λ)	гамма-распределение	f ( x ) = λ cx c-1 e — λx / Γ ( c ), x ≥0
χ 2 ( к )	распределение хи-квадрат	f ( x ) = x k / 2-1 e — x / 2 / (2 k / 2 Γ ( k / 2))
F ( k 1 , k 2 )	F распределение
Корзина ( n , p )	биномиальное распределение	f ( k ) = n C k p k (1 -p ) nk
Пуассон (λ)	распределение Пуассона	е ( К ) знак равно λ К е — λ / К !
Геом ( p )	геометрическое распределение	f ( k ) = p (1 -p ) k
HG ( N , K , n )	гипергеометрическое распределение
Берн ( p )	Распределение Бернулли

Комбинаторические символы

Символ	Название символа	Значение / определение	пример
п !	факториал	п ! = 1⋅2⋅3⋅ … ⋅ n	5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120
n P k	перестановка		5 п 3 = 5! / (5-3)! = 60
n C k	сочетание		5 C 3 = 5! / [3! (5-3)!] = 10

Установить символы ►

Смотрите также

• Математические символы
• Установить символы
• Основные математические символы
• Логические символы
• Символы греческого алфавита
• Распределение вероятностей
• Вероятность и статистика

Тип кодирования данных

Фазовая манипуляция (PSK ) — это цифровая модуляция процесс, который передает данные путем изменения (модуляции) фазы постоянного частоты эталонного сигнала ( несущая ). Модуляция осуществляется путем изменения входных сигналов синус и косинус в точное время. Он широко используется для беспроводных локальных сетей, RFID и Bluetooth связи.

Любая схема цифровой модуляции использует конечное количество различных сигналов для представления цифровых данных. PSK использует конечное количество фаз, каждой из которых назначен уникальный шаблон из двоичных цифр. Обычно каждая фаза кодирует равное количество битов. Каждый набор битов образует символ , который представлен конкретной фазой. Демодулятор , который разработан специально для набора символов, используемого модулятором, определяет фазу принятого сигнала и отображает ее обратно в символ, который он представляет, таким образом восстанавливая исходные данные. Для этого приемник должен иметь возможность сравнивать фазу принятого сигнала с опорным сигналом — такая система называется когерентной (и упоминается как CPSK).

CPSK требует сложного демодулятора, поскольку он должен извлекать опорную волну из принятого сигнала и отслеживать ее, чтобы сравнивать каждую выборку. В качестве альтернативы, фазовый сдвиг каждого отправленного символа можно измерить относительно фазы предыдущего отправленного символа. Поскольку символы кодируются с разностью фаз между последовательными выборками, это называется дифференциальной фазовой манипуляцией (DPSK) . DPSK может быть значительно проще в реализации, чем обычный PSK, поскольку это «некогерентная» схема, то есть демодулятору не нужно отслеживать опорную волну. Компромисс в том, что он имеет больше ошибок демодуляции.

Содержание

• 1 Введение
  • 1.1 Определения
• 2 Приложения
• 3 Двоичная фазовая манипуляция (BPSK)
  • 3.1 Реализация
  • 3.2 Частота битовых ошибок
• 4 Квадратурная фаза- Shift-манипуляция (QPSK)
  • 4.1 Реализация
  • 4.2 Вероятность ошибки
  • 4.3 Варианты
    • 4.3.1 Смещение QPSK (OQPSK)
    • 4.3.2 SOQPSK
    • 4.3.3 π / 4- QPSK
    • 4.3.4 DPQPSK
• 5 PSK высшего порядка
  • 5.1 Частота битовых ошибок
  • 5.2 Спектральная эффективность
• 6 Дифференциальная фазовая манипуляция (DPSK)
  • 6.1 Дифференциальное кодирование
  • 6.2 Демодуляция
  • 6.3 Пример: дифференциально-кодированная BPSK
• 7 Взаимная информация с аддитивным белым гауссовским шумом
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки

Введение

Есть три основных класса методов цифровой модуляции, используемых для передачи представленных в цифровом виде данных:

Все передают данные, изменяя какой-либо аспект основного знака al, несущая (обычно синусоида ) в ответ на сигнал данных. В случае PSK фаза изменяется для представления сигнала данных. Существует два основных способа использования фазы сигнала таким образом:

• путем рассмотрения самой фазы как передачи информации, и в этом случае демодулятор должен иметь опорный сигнал. сигнал для сравнения фазы принятого сигнала; или
• При просмотре изменения в фазе, как транспортирующая информация -. дифференциального схема, некоторые из которых не нужен опорный носителя (в определенную степень)

Удобный способ представления схем PSK — это диаграмма созвездия . Здесь показаны точки на комплексной плоскости , где в данном контексте оси действительная и мнимая называются синфазной и квадратурной осями соответственно из-за их Разделение на 90 °. Такое представление на перпендикулярных осях легко реализуется. Амплитуда каждой точки вдоль синфазной оси используется для модуляции косинусной (или синусоидальной) волны, а амплитуда вдоль квадратурной оси — для модуляции синусоидальной (или косинусной) волны. По соглашению синфазная модуляция модулирует косинус, а квадратурная модуляция синуса.

В PSK выбранные точки созвездия обычно располагаются с равномерным угловым интервалом вокруг окружности. Это обеспечивает максимальное разделение фаз между соседними точками и, следовательно, лучшую защиту от повреждений. Они расположены по кругу, поэтому все они могут передаваться с одинаковой энергией. Таким образом, модули комплексных чисел, которые они представляют, будут такими же, как и амплитуды, необходимые для косинусной и синусоидальной волн. Двумя распространенными примерами являются «двоичная фазовая манипуляция» (BPSK), которая использует две фазы, и «квадратурная фазовая манипуляция» (QPSK), которая использует четыре фазы, хотя любое количество фаз могут быть использованы. Поскольку данные, которые должны быть переданы, обычно являются двоичными, схема PSK обычно разрабатывается с количеством точек совокупности, равным степени двух.

Определения

Для математического определения частоты ошибок потребуются некоторые определения:

Q (x) { displaystyle Q (x)}даст вероятность того, что единичный образец, взятый из случайного процесса с нулевым средним и единичным -variance функция плотности вероятности Гаусса будет больше или равна x { displaystyle x}. Это масштабированная форма дополнительной функции ошибок Гаусса :

Q (x) = 1 2 π ∫ x ∞ e — 1 2 t 2 dt = 1 2 erfc ⁡ (x 2), x ≥ 0 { displaystyle Q (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {x} ^ { infty} e ^ {- { frac {1} {2}} t ^ { 2}} , dt = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right), x geq 0}.

Приведенные здесь коэффициенты ошибок соответствуют аддитивному белому гауссовскому шуму (AWGN). Эти коэффициенты ошибок ниже, чем вычисленные в каналах с замираниями, следовательно, они являются хорошим теоретическим эталоном для сравнения.

Приложения

Благодаря простоте PSK, особенно по сравнению с его конкурентом квадратурной амплитудной модуляцией, он широко используется в существующих технологиях.

Стандарт беспроводной локальной сети, IEEE 802.11b-1999, использует различные PSK в зависимости от требуемой скорости передачи данных. При базовой скорости 1 Мбит / с он использует DBPSK (дифференциальный BPSK). Для обеспечения расширенной скорости 2 Мбит / с используется DQPSK. При достижении 5,5 Мбит / с и полной скорости 11 Мбит / с используется QPSK, но он должен сочетаться с вводом дополнительного кода. Стандарт высокоскоростной беспроводной локальной сети, IEEE 802.11g-2003, имеет восемь скоростей передачи данных: 6, 9, 12, 18, 24, 36, 48 и 54 Мбит / с. В режимах 6 и 9 Мбит / с используется модуляция OFDM, где каждая поднесущая модулируется BPSK. В режимах 12 и 18 Мбит / с используется OFDM с QPSK. Четыре самых быстрых режима используют OFDM с формами квадратурной амплитудной модуляции.

Из-за своей простоты BPSK подходит для недорогих пассивных передатчиков и используется в стандартах RFID, таких как ISO / IEC 14443, который был принят для биометрических паспортов, кредитных карт, таких как American Express, ExpressPay, и многих других приложений.

Bluetooth 2 использует π / 4 { displaystyle pi / 4}-DQPSK на более низкой скорости (2 Мбит / с) и 8-DPSK на более высокой скорости (3 Мбит / s), когда связь между двумя устройствами достаточно надежна. Bluetooth 1 модулируется с помощью гауссовой манипуляции с минимальным сдвигом, двоичной схемы, поэтому любой выбор модуляции в версии 2 даст более высокую скорость передачи данных. Аналогичная технология, IEEE 802.15.4 (стандарт беспроводной связи, используемый ZigBee ), также полагается на PSK с использованием двух частотных диапазонов: 868–915 МГц с BPSK и на 2,4 ГГц с OQPSK.

И QPSK, и 8PSK широко используются в спутниковом вещании. QPSK по-прежнему широко используется при потоковой передаче спутниковых каналов SD и некоторых каналов HD. Программы высокого разрешения передаются почти исключительно в 8PSK из-за более высоких битрейтов HD-видео и высокой стоимости спутниковой полосы пропускания. Стандарт DVB-S2 требует поддержки как QPSK, так и 8PSK. Наборы микросхем, используемые в новых спутниковых приставках, таких как серия 7000 компании Broadcom, поддерживают 8PSK и обратно совместимы со старым стандартом.

Исторически сложилось так, что модемы с синхронизацией голосового диапазона , например, Bell 201, 208 и 209 и CCITT V.26, V.27, V.29, V.32 и V.34 использовали PSK.

Двоичная фазовая манипуляция (BPSK)

Пример диаграммы созвездия для BPSK

BPSK (также иногда называемый PRK, фазовой манипуляцией или 2PSK) — это простейшая форма фазовой манипуляции (PSK). В нем используются две фазы, разделенные на 180 °, поэтому их также можно назвать 2-PSK. Не имеет особого значения, где именно расположены точки созвездия, и на этом рисунке они показаны на действительной оси в точках 0 ° и 180 °. Следовательно, он обрабатывает самый высокий уровень шума или искажения до того, как демодулятор примет неверное решение. Это делает его самым надежным из всех PSK. Однако он может модулировать только со скоростью 1 бит / символ (как показано на рисунке) и поэтому не подходит для приложений с высокой скоростью передачи данных.

При наличии произвольного фазового сдвига, вносимого каналом связи, демодулятор (см., Например, цикл Костаса ) не может определить, какая точка совокупности который. В результате данные часто дифференциально кодируются перед модуляцией.

BPSK функционально эквивалентен модуляции 2-QAM.

Реализация

Общая форма для BPSK следует уравнению:

sn (t) = 2 E b T b cos ⁡ (2 π ft + π (1 — n)), п = 0, 1. { displaystyle s_ {n} (t) = { sqrt { frac {2E_ {b}} {T_ {b}}}} cos (2 pi ft + pi (1-n)), quad n = 0,1.}

Это дает две фазы, 0 и π. В особой форме двоичные данные часто передаются с помощью следующих сигналов:

s 0 (t) = 2 E b T b cos ⁡ (2 π ft + π) = — 2 E b T b cos ⁡ (2 π фут) { displaystyle s_ {0} (t) = { sqrt { frac {2E_ {b}} {T_ {b}}}} cos (2 pi ft + pi) = — { sqrt { frac {2E_ {b}} {T_ {b}}}} cos (2 pi ft)}для двоичного «0»

s 1 (t) = 2 E b T b cos ⁡ (2 π фут) { displaystyle s_ {1} (t) = { sqrt { frac {2E_ {b}} {T_ {b}}}} cos (2 pi ft)}для двоичной «1»

, где f — частота основной полосы частот.

Следовательно, пространство сигналов может быть представлено единственной базисной функцией

ϕ (t) = 2 T b cos ⁡ (2 π ft) { displaystyle phi (t) = { sqrt { frac {2} {T_ {b}}}} cos (2 pi ft)}

где 1 представлено как E b ϕ (t) { displaystyle { sqrt {E_ {b}}} phi (t)}и 0 представлен как — E b ϕ (t) { displaystyle — { sqrt {E_ {b}}} phi (t)}. Это назначение произвольно.

Это использование этой базовой функции показано в конце следующего раздела на временной диаграмме сигнала. Самый верхний сигнал — это косинусоидальная волна, модулированная BPSK, которую будет производить модулятор BPSK. Битовый поток, который вызывает этот вывод, показан над сигналом (другие части этого рисунка относятся только к QPSK). После модуляции сигнал основной полосы будет перемещен в полосу высоких частот путем умножения cos ⁡ (2 π fct) { displaystyle cos (2 pi f_ {c} t)}.

Коэффициент битовых ошибок

коэффициент битовых ошибок (BER) BPSK при аддитивном белом гауссовском шуме (AWGN) можно рассчитать как:

P b = Q (2 E b N 0) { displaystyle P_ {b} = Q left ({ sqrt { frac {2E_ {b}} {N_ {0}}}} right)}или P е = 1 2 erfc ⁡ (E b N 0) { displaystyle P_ {e} = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left ({ sqrt { frac {E_ {b}}) {N_ {0}}}} right)}

Поскольку на каждый символ приходится только один бит, это также частота ошибок символа.

Квадратурная фазовая манипуляция (QPSK)

Диаграмма созвездия для QPSK с кодировкой Грея. Каждый соседний символ отличается только на один бит.

Иногда это называется четырехфазным PSK, 4-PSK или 4- QAM. (Хотя основные концепции QPSK и 4-QAM различны, результирующие модулированные радиоволны точно такие же.) QPSK использует четыре точки на диаграмме созвездия, равномерно распределенные по кругу. С четырьмя фазами QPSK может кодировать два бита на символ, показанные на диаграмме с кодированием Грея, чтобы минимизировать коэффициент ошибок по битам (BER) — иногда ошибочно воспринимается как удвоенный BER, чем BPSK.

Математический анализ показывает, что QPSK может использоваться либо для удвоения скорости передачи данных по сравнению с системой BPSK при сохранении той же полосы пропускания сигнала, либо для поддержания скорости передачи данных BPSK. но необходимо сократить вдвое полосу пропускания. В последнем случае BER QPSK в точности совпадает с BER BPSK — и полагать иначе — это обычная путаница при рассмотрении или описании QPSK. Переданная несущая может претерпевать ряд фазовых изменений.

Учитывая, что каналы радиосвязи распределяются такими агентствами, как Федеральная комиссия по связи, что дает предписанную (максимальную) полосу пропускания, преимущество QPSK над BPSK становится очевидным: QPSK передает в два раза большую скорость передачи данных в заданной полосе пропускания по сравнению с BPSK — при том же BER. Плата за техническое обслуживание состоит в том, что передатчики и приемники QPSK сложнее, чем передатчики для BPSK. Однако с современной технологией электроники снижение стоимости очень умеренное.

Как и в случае с BPSK, на принимающей стороне возникают проблемы с фазовой неоднозначностью, и на практике часто используется дифференциально кодированный QPSK.

Реализация

Реализация QPSK является более общей, чем реализация BPSK, а также указывает на реализацию PSK более высокого порядка. Записывая символы на диаграмме созвездия в виде синусоидальных и косинусоидальных волн, используемых для их передачи:

sn (t) = 2 E s T s cos ⁡ (2 π fct + (2 n — 1) π 4), n = 1, 2, 3, 4. { displaystyle s_ {n} (t) = { sqrt { frac {2E_ {s}} {T_ {s}}}} cos left (2 pi f_ {c} t + (2n-1) { frac { pi} {4}} right), quad n = 1,2,3,4.}

Это дает четыре фазы π / 4, 3π / 4, 5π / 4 и 7π / 4 по мере необходимости.

Это приводит к двумерному сигнальному пространству с единицами базисных функций

ϕ 1 (t) = 2 T s cos ⁡ (2 π fct) ϕ 2 (t) = 2 T s грех ⁡ (2 π fct) { displaystyle { begin {align} phi _ {1} (t) = { sqrt { frac {2} {T_ {s}}}} cos left (2 pi f_ {c} t right) \ phi _ {2} (t) = { sqrt { frac {2} {T_ {s}}}} sin left (2 pi f_ { c} t right) end {align}}}

Первая базовая функция используется как синфазная составляющая сигнала, а вторая как квадратурная составляющая сигнала.

Следовательно, совокупность сигналов состоит из 4 точек

пространства сигнала (± E s 2 ± E s 2). { displaystyle { begin {pmatrix} pm { sqrt { frac {E_ {s}} {2}}} pm { sqrt { frac {E_ {s}} {2}}} end {pmatrix}}.}

Коэффициент 1/2 показывает, что общая мощность поровну делится между двумя несущими.

Сравнение этих базовых функций с функциями для BPSK ясно показывает, как QPSK можно рассматривать как два независимых сигнала BPSK. Обратите внимание, что точки пространства сигнала для BPSK не нуждаются в разделении энергии символа (бита) по двум несущим в схеме, показанной на диаграмме созвездия BPSK.

Системы QPSK могут быть реализованы несколькими способами. Ниже показаны основные компоненты конструкции передатчика и приемника.

Концептуальная структура передатчика для QPSK. Поток двоичных данных разделяется на синфазную и квадратурную составляющие. Затем они отдельно модулируются на две ортогональные базисные функции. В этой реализации используются две синусоиды. После этого два сигнала накладываются друг на друга, и в результате получается сигнал QPSK. Обратите внимание на использование полярного кодирования без возврата к нулю. Эти кодеры могут быть размещены перед источником двоичных данных, но были размещены после, чтобы проиллюстрировать концептуальную разницу между цифровыми и аналоговыми сигналами, связанными с цифровой модуляцией. Структура приемника для QPSK. Согласованные фильтры можно заменить корреляторами. Каждое устройство обнаружения использует эталонное пороговое значение, чтобы определить, обнаружено ли 1 или 0.

Вероятность ошибки

Хотя QPSK можно рассматривать как четвертичную модуляцию, его легче рассматривать как две независимо модулированные квадратурные носители. При такой интерпретации четные (или нечетные) биты используются для модуляции синфазной составляющей несущей, в то время как нечетные (или четные) биты используются для модуляции квадратурной составляющей несущей. BPSK используется на обеих несущих, и их можно независимо демодулировать.

В результате вероятность битовой ошибки для QPSK такая же, как для BPSK:

P b = Q (2 E b N 0) { displaystyle P_ {b} = Q left ({ sqrt { frac {2E_ {b}} {N_ {0}}}} right)}

Однако для достижения той же вероятности битовой ошибки, что и BPSK, QPSK использует вдвое большую мощность (поскольку два бита передаются одновременно).

Коэффициент ошибок символа определяется следующим образом:

P s = 1 — (1 — P b) 2 = 2 Q (E s N 0) — [Q (E s N 0)] 2. { displaystyle { begin {align} P_ {s} = 1- left (1-P_ {b} right) ^ {2} \ = 2Q left ({ sqrt { frac {E_ { s}} {N_ {0}}}} right) — left [Q left ({ sqrt { frac {E_ {s}} {N_ {0}}}} right) right] ^ { 2}. End {align}}}

Если отношение сигнал / шум высокое (что необходимо для практических систем QPSK), вероятность ошибки символа может быть приблизительно равна:

P s ≈ 2 Q (E s N 0) = erfc ⁡ (E s 2 N 0) = erfc ⁡ (E b N 0) { displaystyle P_ {s} приблизительно 2Q left ({ sqrt { frac { E_ {s}} {N_ {0}}}} right) = operatorname {erfc} left ({ sqrt { frac {E_ {s}} {2N_ {0}}}} right) = operatorname {erfc} left ({ sqrt { frac {E_ {b}} {N_ {0}}}} right)}

Модулированный сигнал показан ниже для короткого сегмента случайных двоичных данных — поток. Две несущие волны представляют собой косинусоидальную и синусоидальную волну, как показывает анализ пространства сигналов выше. Здесь биты с нечетными номерами назначены синфазному компоненту, а биты с четными номерами — квадратурному компоненту (принимая первый бит за номер 1). Общий сигнал — сумма двух компонентов — показан внизу. Скачки по фазе можно увидеть, поскольку PSK изменяет фазу на каждом компоненте в начале каждого битового периода. Самая верхняя форма волны соответствует описанию, данному для BPSK выше.

.

Временная диаграмма для QPSK. Поток двоичных данных показан под осью времени. Два компонента сигнала с их назначением битов показаны вверху, а общий комбинированный сигнал — внизу. Обратите внимание на резкие изменения фазы на некоторых границах битового периода.

Двоичные данные, которые передаются этим сигналом: 11000110.

• Нечетные биты, выделенные здесь, вносят вклад в синфазную составляющую: 11000110
• Четные биты, выделенные здесь, вносят вклад в квадратурно-фазовую составляющую: 11000110

Варианты

QPSK смещения (OQPSK)

Сигнал не проходит через источник, потому что за один раз изменяется только один бит символа.

Квадратурная фазовая манипуляция со смещением (OQPSK) — это вариант модуляции с фазовой манипуляцией, использующий четыре различных значения фазы для передачи. Иногда это называют ступенчатой ​​квадратурной фазовой манипуляцией (SQPSK).

Разница фаз между QPSK и OQPSK

Одновременное использование четырех значений фазы (два бита ) для построения символа QPSK может позволить фазе сигнала прыгнуть на столько же как 180 ° за раз. Когда сигнал фильтруется нижними частотами (как это обычно бывает в передатчике), эти фазовые сдвиги приводят к большим колебаниям амплитуды, что является нежелательным качеством в системах связи. При смещении синхронизации нечетных и четных битов на один битовый период или половину периода символа синфазная и квадратурная составляющие никогда не изменятся одновременно. На диаграмме созвездия, показанной справа, можно увидеть, что это ограничит фазовый сдвиг не более чем на 90 ° за раз. Это дает гораздо меньшие колебания амплитуды, чем QPSK без смещения, и иногда это предпочтительнее на практике.

На рисунке справа показана разница в поведении фазы между обычным QPSK и OQPSK. Видно, что на первом графике фаза может измениться сразу на 180 °, а в OQPSK изменения никогда не превышают 90 °.

Модулированный сигнал показан ниже для короткого сегмента случайного потока двоичных данных. Обратите внимание на сдвиг на половину периода символа между двумя составляющими волнами. Внезапные сдвиги фазы происходят примерно в два раза чаще, чем при QPSK (поскольку сигналы больше не изменяются вместе), но они менее серьезны. Другими словами, величина скачков меньше в OQPSK по сравнению с QPSK.

Временная диаграмма для смещения-QPSK. Поток двоичных данных показан под осью времени. Два компонента сигнала с их назначением битов показаны вверху, а общий комбинированный сигнал — внизу. Обратите внимание на смещение полупериода между двумя компонентами сигнала.

SOQPSK

Безлицензионный сформированный -смещение QPSK (SOQPSK) совместим с Feher- запатентованный QPSK (FQPSK ) в том смысле, что детектор QPSK с интегрированием и сбросом смещения дает одинаковый выходной сигнал независимо от типа используемого передатчика.

Эти модуляции тщательно формируют I и формы волны Q, так что они изменяются очень плавно, и сигнал остается постоянной амплитуды даже во время переходов сигнала. (Вместо мгновенного перехода от одного символа к другому или даже линейного, он плавно перемещается по кругу с постоянной амплитудой от одного символа к другому.) Модуляция SOQPSK может быть представлена ​​как гибрид QPSK и MSK : SOQPSK имеет ту же совокупность сигналов, что и QPSK, однако фаза SOQPSK всегда стационарна.

Стандартное описание SOQPSK-TG включает троичные символы. SOQPSK — одна из наиболее распространенных схем модуляции в применении к спутниковой связи LEO.

π / 4-QPSK

Диаграмма двойного созвездия для π / 4-QPSK. Здесь показаны два отдельных созвездия с идентичной кодировкой Грея, но повернутые на 45 ° друг относительно друга.

В этом варианте QPSK используются два идентичных созвездия, повернутых на 45 ° (π / 4 { displaystyle pi / 4}радиан (отсюда и название) по отношению друг к другу. Обычно, четные или нечетные символы используются для выбора точек из одного из созвездий, а другие символы выбирают точки из другого созвездия. Это также уменьшает фазовые сдвиги от максимума 180 °, но только до максимума 135 °, и поэтому колебания амплитуды π / 4 { displaystyle pi / 4}-QPSK находятся между OQPSK и несмещенным QPSK.

Одно свойство, которым обладает эта схема модуляции, заключается в том, что если модулированный сигнал представлен в комплексной области, переходы между символами никогда не проходят через 0. Другими словами, сигнал не проходит через начало координат. Это снижает динамический диапазон колебаний сигнала, что желательно при разработке сигналов связи.

С другой стороны, π / 4 { displaystyle pi / 4}-QPSK поддается простой демодуляции и был принят для использования, например, в TDMA сотовые телефонные системы.

Модулированный сигнал показан ниже для короткого сегмента случайного потока двоичных данных. Конструкция такая же, как и для обычного QPSK. Последовательные символы взяты из двух созвездий, показанных на схеме. Таким образом, первый символ (11) взят из «синего» созвездия, а второй символ (0 0) взят из «зеленого» созвездия. Обратите внимание, что величины двух составляющих волн изменяются при переключении между созвездиями, но общая величина сигнала остается постоянной (постоянная огибающая ). Фазовые сдвиги находятся между двумя предыдущими временными диаграммами.

Временная диаграмма для π / 4-QPSK. Поток двоичных данных показан под осью времени. Два компонента сигнала с их назначением битов показаны вверху, а общий комбинированный сигнал — внизу. Обратите внимание, что последовательные символы берутся поочередно из двух совокупностей, начиная с «синего».

DPQPSK

Квадратурная фазовая манипуляция с двойной поляризацией (DPQPSK) или QPSK с двойной поляризацией — включает поляризационное мультиплексирование двух разных сигналов QPSK, таким образом улучшая спектральную эффективность в 2 раза. Это экономичная альтернатива использованию 16-PSK вместо QPSK для удвоения спектральной эффективности.

PSK высшего порядка

Диаграмма совокупности для 8-PSK с кодированием Грея

Для построения совокупности PSK можно использовать любое количество фаз, но 8-PSK обычно является развернутой совокупностью PSK высшего порядка. При более чем 8 фазах частота ошибок становится слишком высокой, и доступны более качественные, хотя и более сложные модуляции, такие как квадратурная амплитудная модуляция (QAM). Хотя может использоваться любое количество фаз, тот факт, что совокупность обычно должна иметь дело с двоичными данными, означает, что количество символов обычно является степенью 2, чтобы обеспечить целое число битов на символ.

Коэффициент битовых ошибок

Для общего M-PSK не существует простого выражения для вероятности ошибки символа, если M>4 { displaystyle M>4}. К сожалению, это может может быть получено только из

P s = 1 — ∫ — π / M π / M p θ r (θ r) d θ r, { displaystyle P_ {s} = 1- int _ {- pi / M } ^ { pi / M} p _ { theta _ {r}} left ( theta _ {r} right) d theta _ {r},}

где

p θ r (θ r) = 1 2 π e — 2 γ s sin 2 ⁡ θ r ∫ 0 ∞ V e — 1 2 (V — 2 γ s cos ⁡ θ r) 2 d V, V = r 1 2 + r 2 2, θ р знак равно загар — 1 ⁡ (р 2 р 1), γ s знак равно Е s N 0 { Displaystyle { begin {align} p _ { theta _ {r}} left ( theta _ {r} right) = { frac {1} {2 pi}} e ^ {- 2 gamma _ {s} sin ^ {2} theta _ {r}} int _ {0} ^ { infty} Ve ^ {- { frac {1} {2}} left (V-2 { sqrt { gamma _ {s}}} cos theta _ {r} right) ^ {2}} , dV, \ V = { sqrt {r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2}}}, \ theta _ {r} = tan ^ {- 1} left ({ frac {r_ {2}} {r_ {1}}} r ight), \ gamma _ {s} = { frac {E_ {s}} {N_ {0}}} end {align}}}

и r 1 ∼ N (E s, 1 2 N 0) { displaystyle r_ {1} sim N left ({ sqrt {E_ {s}}}, { frac {1} {2}} N_ {0} right)}и r 2 ∼ N (0, 1 2 N 0) { displaystyle r_ {2} sim N left (0, { frac {1} {2}} N_ {0} справа)}— каждая гауссова случайная величина.

Кривые частоты ошибок по битам для BPSK, QPSK, 8-PSK и 16-PSK, канал аддитивного белого гауссовского шума

Это может быть приблизительно для высокого M { displaystyle M}и высокого E b / N 0 { displaystyle E_ {b} / N_ {0}}на:

P s ≈ 2 Q (2 γ s sin ⁡ π M). { displaystyle P_ {s} приблизительно 2Q left ({ sqrt {2 gamma _ {s}}} sin { frac { pi} {M}} right).}

Бит- вероятность ошибки для M { displaystyle M}-PSK может быть определена точно только после того, как битовое отображение известно. Однако, когда используется кодировка Грея, наиболее вероятная ошибка от одного символа к следующему дает только одну битовую ошибку и

P b ≈ 1 k P s. { displaystyle P_ {b} приблизительно { frac {1} {k}} P_ {s}.}

(Использование кодирования Грея позволяет нам приблизить расстояние Ли ошибок как Расстояние Хэмминга ошибок в декодированном потоке битов, которое легче реализовать аппаратно.)

На графике слева сравниваются коэффициенты битовых ошибок BPSK, QPSK (которые являются то же, что и отмечалось выше), 8-PSK и 16-PSK. Видно, что модуляция более высокого порядка демонстрирует более высокие коэффициенты ошибок; однако взамен они обеспечивают более высокую скорость необработанных данных.

Границы частоты ошибок для различных схем цифровой модуляции могут быть вычислены с применением объединения к сигнальной совокупности.

Спектральная эффективность

Ширина полосы (или спектральная) эффективность схем модуляции M-PSK увеличивается с увеличением порядка модуляции M (в отличие, например, от M-FSK ):

ρ = журнал 2 ⁡ M 2 [бит / с ⋅ Гц] { displaystyle rho = { frac { log _ {2} M} {2}} quad [{ text {bits}} / { text {s }} cdot { text {Hz}}]}

То же соотношение сохраняется и для M-QAM.

Дифференциальная фазовая манипуляция (DPSK)

Дифференциальное кодирование

Дифференциальная фазовая манипуляция (DPSK) — это распространенная форма фазовой модуляции, которая передает данные путем изменения фазы несущей волны. Как упоминалось для BPSK и QPSK, существует неоднозначность фазы, если совокупность поворачивается некоторым эффектом в канал связи, через который проходит сигнал. Эту проблему можно решить, используя данные для изменения, а не для установки фазы.

Например, в дифференциально-кодированной BPSK двоичной «1» может быть передан путем добавления 180 ° к текущей фазе и двоичного «0» путем добавления 0 ° к текущей фазе. Другой вариант DPSK — это симметричная дифференциальная фазовая манипуляция, SDPSK, где кодирование будет составлять + 90 ° для «1» и -90 ° для «0».

В дифференциально кодированной QPSK (DQPSK) фазовые сдвиги составляют 0 °, 90 °, 180 °, -90 °, что соответствует данным «00», «01», «11», «10». Этот вид кодирования может быть демодулирован таким же образом, как и для недифференциальной PSK, но фазовые неоднозначности можно игнорировать. Таким образом, каждый принятый символ демодулируется в одну из точек M { displaystyle M}в совокупности, и компаратор затем вычисляет разность фаз между этим принятым сигналом и предыдущий. Разница кодирует данные, как описано выше. Симметричная дифференциальная квадратурная фазовая манипуляция (SDQPSK) похожа на DQPSK, но кодирование является симметричным, с использованием значений фазового сдвига -135 °, -45 °, + 45 ° и + 135 °.

Модулированный сигнал показан ниже как для DBPSK, так и для DQPSK, как описано выше. На рисунке предполагается, что сигнал начинается с нулевой фазы, и поэтому в обоих сигналах есть фазовый сдвиг в t = 0 { displaystyle t = 0}.

Временная диаграмма для DBPSK и DQPSK. Поток двоичных данных находится выше сигнала DBPSK. Отдельные биты сигнала DBPSK сгруппированы в пары для сигнала DQPSK, который изменяется только каждые T s = 2T b.

Анализ показывает, что дифференциальное кодирование примерно вдвое увеличивает количество ошибок по сравнению с обычным M { displaystyle M}-PSK, но это можно преодолеть лишь небольшим увеличением E b / N 0 { displaystyle E_ {b} / N_ {0}}. Кроме того, этот анализ (и графические результаты ниже) основаны на системе, в которой единственным искажением является аддитивный белый гауссовский шум (AWGN). Однако между передатчиком и приемником в системе связи также будет существовать физический канал. Этот канал, как правило, вносит неизвестный фазовый сдвиг в сигнал PSK; в этих случаях дифференциальные схемы могут давать более высокий коэффициент ошибок, чем обычные схемы, которые полагаются на точную информацию о фазе.

Одно из самых популярных приложений DPSK — это стандарт Bluetooth, где π / 4 { displaystyle pi / 4}-DQPSK и 8- Внедрены ДПСК.

Демодуляция

Сравнение BER между DBPSK, DQPSK и их недифференциальными формами с использованием кодирования Грея и работы с белым шумом

Для сигнала, который был закодирован дифференциально, существует очевидный альтернативный метод демодуляции. Вместо обычной демодуляции и игнорирования неоднозначности фазы несущей сравнивается фаза между двумя последовательными принятыми символами и используется для определения того, какими должны были быть данные. Когда дифференциальное кодирование используется таким образом, схема известна как дифференциальная фазовая манипуляция (DPSK). Обратите внимание, что это немного отличается от просто дифференциально кодированной PSK, поскольку при приеме принятые символы не декодируются один за другим в точки совокупности, а вместо этого напрямую сравниваются друг с другом.

Вызвать полученный символ в k { displaystyle k}временном интервале rk { displaystyle r_ {k}}и дать ему фаза ϕ k { displaystyle phi _ {k}}. Без ограничения общности считаем, что фаза несущей волны равна нулю. Обозначим термин аддитивный белый гауссовский шум (AWGN) как n k { displaystyle n_ {k}}. Тогда

r k = E s e j ϕ k + n k. { displaystyle r_ {k} = { sqrt {E_ {s}}} e ^ {j phi _ {k}} + n_ {k}.}

Переменная решения для k — 1 { displaystyle k-1}и символ k { displaystyle k}— это разность фаз между rk { displaystyle r_ {k}}и rk — 1 { displaystyle r_ {k-1}}. То есть, если rk { displaystyle r_ {k}}проецируется на rk — 1 { displaystyle r_ {k-1}}, решение берется на фазе полученного комплексного числа:

rkrk — 1 ∗ = E sej (φ k — φ k — 1) + E sej φ knk — 1 ∗ + E se — j φ k — 1 nk + nknk — 1 * { displaystyle r_ {k} r_ {k-1} ^ {*} = E_ {s} e ^ {j left ( varphi _ {k} — varphi _ {k-1} right) } + { sqrt {E_ {s}}} e ^ {j varphi _ {k}} n_ {k-1} ^ {*} + { sqrt {E_ {s}}} e ^ {- j varphi _ {k-1}} n_ {k} + n_ {k} n_ {k-1} ^ {*}}

где верхний индекс * обозначает комплексное сопряжение. В отсутствие шума фаза этого сигнала равна ϕ k — ϕ k — 1 { displaystyle phi _ {k} — phi _ {k-1}}, фаза- сдвиг между двумя принятыми сигналами, который может использоваться для определения передаваемых данных.

Вероятность ошибки для DPSK в целом трудно вычислить, но в случае DBPSK это:

P b = 1 2 e — E b N 0, { displaystyle P_ {b } = { frac {1} {2}} e ^ {- { frac {E_ {b}} {N_ {0}}}},}

который при численной оценке лишь немного хуже обычного BPSK, особенно при более высоких значениях E b / N 0 { displaystyle E_ {b} / N_ {0}}.

Использование DPSK устраняет необходимость в возможных сложных схемах восстановления несущей для обеспечения точной оценки фазы и может быть привлекательной альтернативой обычному PSK.

В оптической связи данные могут быть модулированы по фазе лазера дифференциальным способом. Модуляция представляет собой лазер, который излучает непрерывную волну, и модулятор Маха – Цендера, который принимает электрические двоичные данные. В случае BPSK лазер передает поле без изменений для двоичной «1» и с обратной полярностью для «0». Демодулятор состоит из интерферометра линии задержки, который задерживает один бит, поэтому два бита можно сравнивать за один раз. При дальнейшей обработке используется фотодиод для преобразования оптического поля в электрический ток, так что информация возвращается в исходное состояние.

Коэффициенты ошибок по битам DBPSK и DQPSK сравниваются с их недифференциальными аналогами на графике справа. Потери при использовании DBPSK достаточно малы по сравнению с уменьшением сложности, которое часто используется в системах связи, которые иначе использовали бы BPSK. Однако для DQPSK потеря производительности по сравнению с обычным QPSK больше, и разработчик системы должен сбалансировать это с уменьшением сложности.

Пример: BPSK с дифференциальным кодированием

Схема системы дифференциального кодирования / декодирования

В k th { displaystyle k ^ { textrm {th}}}время -slot вызывает бит, который необходимо модулировать bk { displaystyle b_ {k}}, дифференциально кодированный бит ek { displaystyle e_ {k}}и результирующий модулированный сигнал mk (t) { displaystyle m_ {k} (t)}. Предположим, что диаграмма созвездия позиционирует символы в положении ± 1 (что соответствует BPSK). Дифференциальный энкодер выдает:

ek = ek — 1 ⊕ bk { displaystyle , e_ {k} = e_ {k-1} oplus b_ {k}}

где ⊕ { displaystyle oplus {}}указывает двоичное или сложение по модулю 2.

Сравнение BER между BPSK и дифференциально закодированным BPSK, работающим в белом шуме

Итак, ek { displaystyle e_ {k}}только изменяет состояние (с двоичного «0» на двоичное «1 «или из двоичной» 1 «в двоичную» 0 «), если bk { displaystyle b_ {k}}является двоичной» 1 «. В противном случае он остается в своем предыдущем состоянии. Это описание дифференциально кодированной BPSK, приведенное выше.

Полученный сигнал демодулируется для получения ek = ± 1 { displaystyle e_ {k} = pm 1}, а затем дифференциальный декодер меняет процедуру кодирования на противоположную и выдает

bk = ek ⊕ ek — 1, { displaystyle b_ {k} = e_ {k} oplus e_ {k-1},}

поскольку двоичное вычитание аналогично двоичному сложению.

Следовательно, bk = 1 { displaystyle b_ {k} = 1}, если ek { displaystyle e_ {k}}и ek — 1 { displaystyle e_ {k-1}}different и bk = 0 { displaystyle b_ {k} = 0}, если они те же самые. Следовательно, если оба ek { displaystyle e_ {k}}и ek — 1 { displaystyle e_ {k-1}}инвертированы, bk { displaystyle b_ {k}}по-прежнему будет декодироваться правильно. Таким образом, фазовая неоднозначность 180 ° не имеет значения.

Дифференциальные схемы для других модуляций PSK могут быть разработаны аналогичным образом. Формы сигналов для DPSK такие же, как для PSK с дифференциальным кодированием, приведенные выше, поскольку единственное изменение между двумя схемами — на приемнике.

Кривая BER для этого примера сравнивается с обычным BPSK справа. Как упоминалось выше, хотя частота ошибок увеличивается примерно вдвое, увеличение E b / N 0 { displaystyle E_ {b} / N_ {0}}, необходимое для преодоления этого, невелико. Однако увеличение E b / N 0 { displaystyle E_ {b} / N_ {0}}, необходимое для преодоления дифференциальной модуляции в кодированных системах, больше — обычно около 3 дБ. Ухудшение производительности является результатом — в данном случае это относится к тому факту, что отслеживание фазы полностью игнорируется.

Взаимная информация с аддитивным белым гауссовским шумом

Взаимная информация PSK по каналу AWGN

взаимная информация PSK может быть оценена в аддитивном гауссовском шуме посредством численного интегрирования его определения. Кривые взаимной информации насыщаются до количества битов, переносимых каждым символом в пределе бесконечного отношения сигнал / шум E s / N 0 { displaystyle E_ {s} / N_ {0}}. Напротив, в пределе отношения слабого сигнала к шуму взаимная информация приближается к пропускной способности канала AWGN, что является верхним пределом среди всех возможных вариантов статистических распределений символов.

При промежуточных значениях отношения сигнал / шум взаимная информация (MI) хорошо аппроксимируется следующим образом:

MI ≃ log 2 ⁡ (4 π e E s N 0). { displaystyle { textrm {MI}} simeq log _ {2} left ({ sqrt {{ frac {4 pi} {e}} { frac {E_ {s}} {N_ {0) }}}}} right).}

Взаимная информация PSK по каналу AWGN обычно находится дальше от пропускной способности канала AWGN, чем форматы модуляции QAM.

См. Также

Викискладе есть носители, относящиеся к Квантованной фазовой модуляции.

Примечания

Ссылки

Обозначения и теоретические результаты в этой статье основаны на материалах, представленных в следующих источниках:

• Proakis, John G. (1995). Цифровая связь. Сингапур: Макгроу Хилл. ISBN 0-07-113814-5.
• Диван, Леон В. II (1997). Цифровая и аналоговая связь. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-081223-4.
• Хайкин, Саймон (1988). Цифровые коммуникации. Торонто, Канада: John Wiley Sons. ISBN 0-471-62947-2.